Però a proposito di questo:
ho trovato su wiki chemoebius ha scritto:Per il resto, se mi passate il fatto che la negazione dell'assioma della scelta implica che tutti i subset della retta reale sono misurabili (cosa che mi ricordo essere vera ma che adesso non saprei ridimostrare)
(mentre per esempio la riga sotto dice che "In all models of ZF¬C, the generalized continuum hypothesis does not hold.")There exists a model of ZF¬C in which every set in Rn is measurable.
Ora io non me ne intendo abbastanza, quindi chiedo: qui si dice che esiste un modello di ZF¬C in cui vale questa cosa, ma non che vale per ogni modello. Detto questo e fidandoci di wiki, la tua dimostrazione è ancora valida o no?
EvaristeG et al., non riesco a salvare i nanetti sfruttando le informazioni ricavate da quanto dicono i nanetti precedenti! Mi sembra di aver capito che si tratta di generalizzare la strategia classica con un numero finito di nanetti, ma non riesco... tanto per capire, qui non c'è bisogno dell'assioma della scelta?
Stoppa2006 et al., visto che la tua soluzione era corretta devo smettere di insistere a chiedere di cercare una soluzione diversa al problema che ho posto all'inizio; però, visto che comunque vorrei che venisse trovata la soluzione alternativa che secondo me è più semplice, adesso metto in bianco un paio di hint, il primo un po' più oscuro e il secondo molto più esplicito, anzi praticamente è la soluzione:
Hint n. 1 - oscuro
Supponiamo di cambiare per ora il testo del problema: mettiamo i nanetti in fila, in modo che anche noi che dobbiamo disporre i cappelli conosciamo il loro ordinamento, e garantiamo ai nanetti che metteremo i cappelli sulle loro teste secondo una successione (definitivamente) periodica. In questo caso, che strategia potranno applicare? Stavolta ovviamente non c'è bisogno della scelta, visto che le possibili configurazioni sono numerabili... e tutto può essere esplicitato... Ora, trovata questa strategia, generalizzare per configurazioni di cappelli qualsiasi!
P.S.: che sadica che sono, prima nell'hint n.2 al posto delle "xxx" avevo messo le parole, ma poi non ho saputo resistere e le ho sostituite con le "xxx"! Comunque non dovrebbe essere difficile capire le "parole censurate"!!!Hint n. 2 - esplicito
Chiaramente per prima cosa ordiniamo i nanetti. Considerazione: se due configurazioni di cappelli (le chiamerò anche successioni di cappelli) sono definitivamente uguali, allora se la successione di risposte dei nanetti va bene per l'una, la stessa successione di risposte va bene anche per l'altra, perchè le due successioni di cappelli differiscono per al più un numero finito di termini. Quindi, che fare? Dividere in xxxxxx di xxxxxxxxxxx... poi sfruttare l'xxxxxxx della xxxxxx... e poi le conclusioni sono le stesse della soluzione dell'hint n.1!