un giochetto da ragazzi.
Avete 3 porte davanti a voi, sapete che solo dietro una delle quali c'è un bel premio, vi è lasciato scegliere una delle tre e voi avete scelto una delle tre, e poi vi è stato aperto una delle due non scelte da voi e scoprite che dietro quello non c'è nessun premio.
A questo punto vi è data l'occasione di poter cambiare la porta (fra quella scelta e quella rimasta), che cosa fate? vi è più vantaggioso cambiare o non cambiare e xke?
la porta da scegliere
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xxwinny91xx
- Messaggi: 14
- Iscritto il: 17 feb 2007, 16:03
messa in questi termini, ho il 50% delle probabilità di vincere, sia che mantenga la mia scelta che nel caso in cui decida di cambiare
in altre parole, se al "secondo turno" so già che la "terza porta" è quella sbagliata, è come se dovessi scegliere ex-novo fra le altre due porte, quindi ...
io conoscevo questo gioco in un altro modo: al primo turno, posso scegliere fra tre porte; al secondo turno, viene aperta una delle porte che non ho scelto e che sicuramente non contiene il premio, il premio viene eventualmente spostato fra le altre 2 porte e posso di nuovo scegliere fra una delle 2 porte rimaste chiuse (cioè posso scegliere se confermare o cambiare)
in questo caso mi sembra che la probabilità di vincita sia diversa dal 50% ... o no ?
in altre parole, se al "secondo turno" so già che la "terza porta" è quella sbagliata, è come se dovessi scegliere ex-novo fra le altre due porte, quindi ...
io conoscevo questo gioco in un altro modo: al primo turno, posso scegliere fra tre porte; al secondo turno, viene aperta una delle porte che non ho scelto e che sicuramente non contiene il premio, il premio viene eventualmente spostato fra le altre 2 porte e posso di nuovo scegliere fra una delle 2 porte rimaste chiuse (cioè posso scegliere se confermare o cambiare)
in questo caso mi sembra che la probabilità di vincita sia diversa dal 50% ... o no ?
Perché nella vita quotidiana "vediamo" così tanta materia e così poca antimateria ?
[url=http://userbarmaker.com/][img]http://img513.imageshack.us/img513/7474/991186840448qj4.png[/img][/url]
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alberto.ravagnani
E' più vantaggioso cambiare la scelta fatta all'inizio.
Chiamiamo $ A, B, C $ le tre porte. Non è restrittivo supporre che il premio sia in $ A $. Distinguiamo tre casi disgiunti e complementari:
1° CASO: Scelgo la porta $ A $ alla prima mossa. Allora mi verrà aperta una delle altre e mi conviene confermare la scelta.
2° CASO: Scelgo la porta $ B $ alla prima mossa. Allora mi viene aperta la $ C $ e conviene correggersi scegliendo $ A $.
3° CASO: Scelgo la porta $ C $ alla prima mossa. Allora mi viene aperta la $ B $ e conviene correggersi scegliendo $ A $.
Concludendo, la probabilità di vincere confermando la prima scelta è $ \frac{1}{3} $ mentre la probabilità di vincere cambiando porta è $ \frac{2}{3} $ (il doppio!).
Se ripetiamo il ragionamento supponendo il premio in $ B $ o in $ C $ otteniamo, come anticipato, il medesimo risultato.
mod_2 mi corregga se sbaglio...
P.S. Forse c'è qualche dimostrazione più elegante, magari con il teorema di Bayes...
Chiamiamo $ A, B, C $ le tre porte. Non è restrittivo supporre che il premio sia in $ A $. Distinguiamo tre casi disgiunti e complementari:
1° CASO: Scelgo la porta $ A $ alla prima mossa. Allora mi verrà aperta una delle altre e mi conviene confermare la scelta.
2° CASO: Scelgo la porta $ B $ alla prima mossa. Allora mi viene aperta la $ C $ e conviene correggersi scegliendo $ A $.
3° CASO: Scelgo la porta $ C $ alla prima mossa. Allora mi viene aperta la $ B $ e conviene correggersi scegliendo $ A $.
Concludendo, la probabilità di vincere confermando la prima scelta è $ \frac{1}{3} $ mentre la probabilità di vincere cambiando porta è $ \frac{2}{3} $ (il doppio!).
Se ripetiamo il ragionamento supponendo il premio in $ B $ o in $ C $ otteniamo, come anticipato, il medesimo risultato.
mod_2 mi corregga se sbaglio...
P.S. Forse c'è qualche dimostrazione più elegante, magari con il teorema di Bayes...
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alberto.ravagnani
ammetto la mia ignoranza (conoscevo solo la versione descritta da Martin Gardner), però vorrei sottoporvi la mia spiegazione, in termini "combinatori"
Ecco la mia spiegazione:
consideriamo tutti gli eventi possibili, in base alle ipotesi del problema, e fra questi calcoliamo quante volte "cambiare scelta" ci porta alla vittoria e quante volte invece "mantenere la scelta" ci porta alla vittoria
senza perdere in generalità, chiamiamo A la porta dietro cui si trova il premio
1- prima scelta A -> viene aperta C -> restano A e B -> confermo A -> vinco
2- prima scelta A -> viene aperta C -> restano A e B -> cambio con B -> perdo
3- prima scelta A -> viene aperta B -> restano A e C -> confermo A -> vinco
4- prima scelta A -> viene aperta B -> restano A e C -> cambio con C -> perdo
5- prima scelta B -> viene aperta C -> restano A e B -> confermo B -> perdo
6- prima scelta B -> viene aperta C -> restano A e B -> cambio con A -> vinco
7- prima scelta C -> viene aperta B -> restano A e C -> confermo C -> perdo
8- prima scelta C -> viene aperta B -> restano A e C -> cambio con A -> vinco
le combinazioni 1,3,5,7 corrispondono alla strategia "confermo la prima scelta" e conducono alla vittoria nel 25% dei casi totali (2 su 8 )
le combinazioni 2,4,6,8 corrispondono alla strategia "canbio la prima scelta" e conducono alla vittoria nel 25% dei casi totali (2 su 8 )
conclusione: la probabilità di vincita restano uguali indipendentemente dalla strategia applicata
dove sta l' "errore" ? se scelgo (la prima volta) la porta vincente, le successive mosse della controparte (presentatore o simili) sono 2, altrimenti la mossa della controparte è una sola, obbligata !
insomma, in quella frase "Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra." le parole "non importa quale" nascondono 2 possibilità e non 1 sola come negli altri casi
a parte la teoria, sono state fatte "simulazioni" al computer ? in caso affermativo, quali risultati (necessariamente approssimati) hanno riportato ? sono più vicini a 1/3 - 2/3 oppure a 1/2 - 1/2 (o se preferite 1/4 - 1/4) ?
bestemmio ?
d'altronde tenete conto che non sono "un matematico", sono soltanto "un laureato in matematica"
Ecco la mia spiegazione:
consideriamo tutti gli eventi possibili, in base alle ipotesi del problema, e fra questi calcoliamo quante volte "cambiare scelta" ci porta alla vittoria e quante volte invece "mantenere la scelta" ci porta alla vittoria
senza perdere in generalità, chiamiamo A la porta dietro cui si trova il premio
1- prima scelta A -> viene aperta C -> restano A e B -> confermo A -> vinco
2- prima scelta A -> viene aperta C -> restano A e B -> cambio con B -> perdo
3- prima scelta A -> viene aperta B -> restano A e C -> confermo A -> vinco
4- prima scelta A -> viene aperta B -> restano A e C -> cambio con C -> perdo
5- prima scelta B -> viene aperta C -> restano A e B -> confermo B -> perdo
6- prima scelta B -> viene aperta C -> restano A e B -> cambio con A -> vinco
7- prima scelta C -> viene aperta B -> restano A e C -> confermo C -> perdo
8- prima scelta C -> viene aperta B -> restano A e C -> cambio con A -> vinco
le combinazioni 1,3,5,7 corrispondono alla strategia "confermo la prima scelta" e conducono alla vittoria nel 25% dei casi totali (2 su 8 )
le combinazioni 2,4,6,8 corrispondono alla strategia "canbio la prima scelta" e conducono alla vittoria nel 25% dei casi totali (2 su 8 )
conclusione: la probabilità di vincita restano uguali indipendentemente dalla strategia applicata
dove sta l' "errore" ? se scelgo (la prima volta) la porta vincente, le successive mosse della controparte (presentatore o simili) sono 2, altrimenti la mossa della controparte è una sola, obbligata !
insomma, in quella frase "Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra." le parole "non importa quale" nascondono 2 possibilità e non 1 sola come negli altri casi
a parte la teoria, sono state fatte "simulazioni" al computer ? in caso affermativo, quali risultati (necessariamente approssimati) hanno riportato ? sono più vicini a 1/3 - 2/3 oppure a 1/2 - 1/2 (o se preferite 1/4 - 1/4) ?
bestemmio ?
d'altronde tenete conto che non sono "un matematico", sono soltanto "un laureato in matematica"
Perché nella vita quotidiana "vediamo" così tanta materia e così poca antimateria ?
[url=http://userbarmaker.com/][img]http://img513.imageshack.us/img513/7474/991186840448qj4.png[/img][/url]
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Sbagli perchè nei tuoi 8 casi ce ne sono 4 in cui si fa la scelta giusta al primo tentativo.
la porta A viene scelta dal concorrente con probabilità 1/3, mentre nella tua analisi hai assegnato probabilità 1/2 di scegliere la porta giusta, mentre 1/4 e 1/4 di scegliere le porte sbagliate.
Se raddoppi i casi per cui si sceglie la porta B o la porta C, portandoli a 4 ciascuno per un totale di 12 vedrai che i conti tornano!
la porta A viene scelta dal concorrente con probabilità 1/3, mentre nella tua analisi hai assegnato probabilità 1/2 di scegliere la porta giusta, mentre 1/4 e 1/4 di scegliere le porte sbagliate.
Se raddoppi i casi per cui si sceglie la porta B o la porta C, portandoli a 4 ciascuno per un totale di 12 vedrai che i conti tornano!
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando dell'associazione "Matematici per la messa al bando del Sudoku" fondata da fph" fondata da Zoidberg
non capisco ma mi adeguo ... qual è l'universo degli eventi su cui stiamo calcolando le probabilità ? secondo me sono le diverse istanze dell'intera sequenza, dall'inizio alla fine, compresaZoidberg ha scritto:Sbagli perchè nei tuoi 8 casi ce ne sono 4 in cui si fa la scelta giusta al primo tentativo.
la porta A viene scelta dal concorrente con probabilità 1/3, mentre nella tua analisi hai assegnato probabilità 1/2 di scegliere la porta giusta, mentre 1/4 e 1/4 di scegliere le porte sbagliate.
Se raddoppi i casi per cui si sceglie la porta B o la porta C, portandoli a 4 ciascuno per un totale di 12 vedrai che i conti tornano!
1) la prima scelta del concorrente
2) la apertura della porta da parte del conduttore
3) la seconda scelta del concorrente
4) il risultato finale
quante sono le possibili "configurazioni" o istanze ? esattamente 8, e credo non ci siano dubbi su questo !
quanto incide l'una strategia o l'altra sulle probabilità di vincita del concorrente in questi 8 casi ? non stiamo calcolando le probabilità di vincita del concorrente, ma l'effetto di una strategia rispetto all'altra su questa probabilità di vincita, e secondo me le due strategie sono in questo senso equivalenti
ma naturalmente se "tutti" i "matematici" dicono il contrario, sarò io che "sbaglio"
tagliamo la testa al toro:
proverò a giocare "infinite" volte seguendo la strategia "sto" e (poi !) "infinite" volte seguendo la strategia "cambio", e alla fine magari mi convincerò che nel primo caso avrò vinto ( infinito / 3 ) volte mentre nel secondo caso avrò vinto il doppio delle volte ... in ogni caso mi sarò portato a casa un bel gruzzoletto, anche se avrò impiegato un tempo ... infinito !!!
Perché nella vita quotidiana "vediamo" così tanta materia e così poca antimateria ?
[url=http://userbarmaker.com/][img]http://img513.imageshack.us/img513/7474/991186840448qj4.png[/img][/url]
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alberto.ravagnani
Esattamente! Nella tabella di czap l'evento "scelgo la porta giusta" ha la stessa probabilità dell'evento "scelgo la porta sbagliata": non può essere...Zoidberg ha scritto:Sbagli perchè nei tuoi 8 casi ce ne sono 4 in cui si fa la scelta giusta al primo tentativo.
la porta A viene scelta dal concorrente con probabilità 1/3, mentre nella tua analisi hai assegnato probabilità 1/2 di scegliere la porta giusta, mentre 1/4 e 1/4 di scegliere le porte sbagliate.
Se raddoppi i casi per cui si sceglie la porta B o la porta C, portandoli a 4 ciascuno per un totale di 12 vedrai che i conti tornano!
Per fare un esempio è come se dicessi che al superenalotto ci sono solo due eventi possibili:
- vincere
- perdere
Quindi si ha la probabilità del 50% di vincere?
Chiaramente no perchè dei due eventi considerati, uno ha una probabilità ben più alta di accadere rispetto all'altro.
E questa differenza va "pesata", quando si fa la media.
Lo stesso vale per la questione delle porte!
- vincere
- perdere
Quindi si ha la probabilità del 50% di vincere?
Chiaramente no perchè dei due eventi considerati, uno ha una probabilità ben più alta di accadere rispetto all'altro.
E questa differenza va "pesata", quando si fa la media.
Lo stesso vale per la questione delle porte!
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando dell'associazione "Matematici per la messa al bando del Sudoku" fondata da fph" fondata da Zoidberg
mi dichiaro "colpevole" e mi rimetto alla clemenza della cortealberto.ravagnani ha scritto:Esattamente! Nella tabella di czap l'evento "scelgo la porta giusta" ha la stessa probabilità dell'evento "scelgo la porta sbagliata": non può essere...Zoidberg ha scritto:Sbagli perchè nei tuoi 8 casi ce ne sono 4 in cui si fa la scelta giusta al primo tentativo.
la porta A viene scelta dal concorrente con probabilità 1/3, mentre nella tua analisi hai assegnato probabilità 1/2 di scegliere la porta giusta, mentre 1/4 e 1/4 di scegliere le porte sbagliate.
Se raddoppi i casi per cui si sceglie la porta B o la porta C, portandoli a 4 ciascuno per un totale di 12 vedrai che i conti tornano!
ora ho capito perché non avevo messo "teoria delle probabilità" nel mio piano di studi: non mi piace
dio sa quante volte ho fatto "la scelta (probabilisticamente) sbagliata"
OFF-TOPIC (ma non tanto): ma poi s'è dimostrato che dio gioca a dadi ? o s'è dimostrato il contrario ? o brancoliamo ancora nel buio ?
Perché nella vita quotidiana "vediamo" così tanta materia e così poca antimateria ?
[url=http://userbarmaker.com/][img]http://img513.imageshack.us/img513/7474/991186840448qj4.png[/img][/url]
[url=http://userbarmaker.com/][img]http://img513.imageshack.us/img513/7474/991186840448qj4.png[/img][/url]
Si, ce ne sono di simulazioni, a CONFERMARE che la probablità si aggira intorno ai 2/3... eccone qua unaczap ha scritto: a parte la teoria, sono state fatte "simulazioni" al computer ? in caso affermativo, quali risultati (necessariamente approssimati) hanno riportato ? sono più vicini a 1/3 - 2/3 oppure a 1/2 - 1/2 (o se preferite 1/4 - 1/4) ?
Non so se gioca a dadi, ma dicono che giochi a braccio di ferro.... vedi quaczap ha scritto: OFF-TOPIC (ma non tanto): ma poi s'è dimostrato che dio gioca a dadi ? o s'è dimostrato il contrario ? o brancoliamo ancora nel buio ? Very Happy
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Ponnamperuma
- Messaggi: 411
- Iscritto il: 10 lug 2006, 11:47
- Località: Torino
Suvvia czap, consolati: ebbi a leggere ne "L'uomo che amava solo i numeri" che persino Paul Erdős, messo di fronte al problema e alla sua soluzione, si mostrò più che reticente ad accettarla, e fece una fatica del diavolo a convincersene!
Per giunta, allorchè una qualche signora che dirigeva una rubrica di enigmi assortiti su una rivista inserì il problema di Monty Hall, con annessa la soluzione (corretta!), fior di matematici le scrissero indignati, intimandole di smettere di scrivere scempiaggini matematiche, dal momento che lei non era un matematico e quindi avrebbe fatto meglio ad occuparsi di altre cose... Si può proprio dire che avessero preso un granchio colossale: lei tenne banco e alla fine riuscì a convincere tutti della bontà della propria soluzione!
Per giunta, allorchè una qualche signora che dirigeva una rubrica di enigmi assortiti su una rivista inserì il problema di Monty Hall, con annessa la soluzione (corretta!), fior di matematici le scrissero indignati, intimandole di smettere di scrivere scempiaggini matematiche, dal momento che lei non era un matematico e quindi avrebbe fatto meglio ad occuparsi di altre cose... Si può proprio dire che avessero preso un granchio colossale: lei tenne banco e alla fine riuscì a convincere tutti della bontà della propria soluzione!
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger
MIND torna!! :D
MIND torna!! :D
da dove ho preso il problema...
wow.........
aggiungo solo ke il problema l'ho preso dal libro "lo strano caso dela cane ucciso a mezzanotte" sulla quale c'è solo una dimostrazione uguale a quello di alberto.
aggiungo solo ke il problema l'ho preso dal libro "lo strano caso dela cane ucciso a mezzanotte" sulla quale c'è solo una dimostrazione uguale a quello di alberto.