Integrale doppio da esame
determinante dello jacobiano mi torna
a me torna cosi'
$ $ \int_2^k \!\! \int_{v/2}^{v/2+1}\frac{2u}{v^2} \frac{1}{2u}dudv =$ $ $ $ \int_2^k \frac{1}{v^2}\int_{v/2}^{v/2+1} dudv=$ $ $ $\int^2_kd\frac{1}{v}=\frac{1}{2}-\frac{1}{k}$ $
di sicuro il tuoi estremi di integrazione per la u sono errati dato che quello e' l'intervallo dato per v
a me torna cosi'
$ $ \int_2^k \!\! \int_{v/2}^{v/2+1}\frac{2u}{v^2} \frac{1}{2u}dudv =$ $ $ $ \int_2^k \frac{1}{v^2}\int_{v/2}^{v/2+1} dudv=$ $ $ $\int^2_kd\frac{1}{v}=\frac{1}{2}-\frac{1}{k}$ $
di sicuro il tuoi estremi di integrazione per la u sono errati dato che quello e' l'intervallo dato per v
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- Apocalisse86
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SkZ ha scritto:di sicuro il tuoi estremi di integrazione per la u sono errati dato che quello e' l'intervallo dato per v
potresti gentilmente esplicitarmi i passaggi per ricavare correttamente gli intervalli? grazie SkZ
ps
avrei anche un altro dubbio su un altro integrale ma più che altro mi perdo nei passaggi...poi al limite posto...
"Nemo ante obitum beatus est":...nessuno è felice prima della morte...
(libera citazione ovidiana)
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Risolto...ho capito dove sbagliavo!!:8)
$ u-2 \leq v-u \leq u \rightarrow \frac{v}{2} \leq u \leq \frac{v}{2}+1 $
Una domandina forse un po' stupida e banale... :
ogni qual volta effettuo un cambio di variabili (introducendo ad esempio $ u $ e $ v $ come nell'esercizio di prima) gli intervalli del dominio di partenza vanno sempre esplicitati uno secondo la $ u $ e l'altro secondo la $ v $ affinché il nuovo dominio diventi normale rispetto ad un asse e poter utilizzare le formule di riduzione??questa è la regola?? perché in effetti prima io ho trasfromato gli intervalli del dominio di partenza entrambi rispetto alla nuova variabile $ v $....
$ u-2 \leq v-u \leq u \rightarrow \frac{v}{2} \leq u \leq \frac{v}{2}+1 $
Una domandina forse un po' stupida e banale... :
ogni qual volta effettuo un cambio di variabili (introducendo ad esempio $ u $ e $ v $ come nell'esercizio di prima) gli intervalli del dominio di partenza vanno sempre esplicitati uno secondo la $ u $ e l'altro secondo la $ v $ affinché il nuovo dominio diventi normale rispetto ad un asse e poter utilizzare le formule di riduzione??questa è la regola?? perché in effetti prima io ho trasfromato gli intervalli del dominio di partenza entrambi rispetto alla nuova variabile $ v $....
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Giuro...prometto che questo è l'ultimo!
$ \displaystyle \int \int_ {D_{k}}\frac{xy^3e^{-2y^2}}{(x^2+y^2)^2}dxdy $
dove il dominio D_k è:
$ \displaystyle D_k= \{(x;y) \in \mathbb{R}^{2}: 0\leq x^2+y^2 \leq k ; 0\leq y \leq x\} $ con $ k \in (0;+\infty) $
passo tutto in coordinate polari ottengo:
$ \displaystyle D_{k'}= \{(\rho;\theta) \in\mathbb{R}^{2}: 0\leq \rho \leq k ; 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4} \} $
e ricordando che per il passaggio in coordinate polari lo Jacobiano vale sempre $ \rho $, ottengo l'integrale:
$ \displaystyle\int_0^{\pi/4} \cos\theta\sin^3\theta \int_0^k \rho e^{-2\rho^2 \sin^2\theta}d\rho d\theta= $
$ \displaystyle \int_0^{\pi/4} \cos\theta\sin^3\theta [\frac{1}{4\sin^2\theta}-\frac{e^{-2k^2\sin^2\theta}}{4\sin^2\theta}]d\theta $
moltiplicando e poi sdoppiando dovrebbero uscire degli integrali immediati...alla fine ottengo:
$ \displaystyle\frac{e^{-k^2}}{16}-\frac{1}{16k^2}+\frac{1}{16} $
ringrazio già chi verificherà...ciao e grazie grazie a tutti!!!
$ \displaystyle \int \int_ {D_{k}}\frac{xy^3e^{-2y^2}}{(x^2+y^2)^2}dxdy $
dove il dominio D_k è:
$ \displaystyle D_k= \{(x;y) \in \mathbb{R}^{2}: 0\leq x^2+y^2 \leq k ; 0\leq y \leq x\} $ con $ k \in (0;+\infty) $
passo tutto in coordinate polari ottengo:
$ \displaystyle D_{k'}= \{(\rho;\theta) \in\mathbb{R}^{2}: 0\leq \rho \leq k ; 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4} \} $
e ricordando che per il passaggio in coordinate polari lo Jacobiano vale sempre $ \rho $, ottengo l'integrale:
$ \displaystyle\int_0^{\pi/4} \cos\theta\sin^3\theta \int_0^k \rho e^{-2\rho^2 \sin^2\theta}d\rho d\theta= $
$ \displaystyle \int_0^{\pi/4} \cos\theta\sin^3\theta [\frac{1}{4\sin^2\theta}-\frac{e^{-2k^2\sin^2\theta}}{4\sin^2\theta}]d\theta $
moltiplicando e poi sdoppiando dovrebbero uscire degli integrali immediati...alla fine ottengo:
$ \displaystyle\frac{e^{-k^2}}{16}-\frac{1}{16k^2}+\frac{1}{16} $
ringrazio già chi verificherà...ciao e grazie grazie a tutti!!!
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A me viene:
$ \displaystyle D_{k'}= \{(\rho;\theta) \in\mathbb{R}^{2}: 0\leq \rho \leq \sqrt{k} ; 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4} \} $
Il procedimento poi è uguale al tuo ma con $ \sqrt{k} $ al posto di k.
E come risultato:
$ \displaystyle\frac{e^{-k}}{16k}-\frac{1}{16k}+\frac{1}{16} $
$ \displaystyle D_{k'}= \{(\rho;\theta) \in\mathbb{R}^{2}: 0\leq \rho \leq \sqrt{k} ; 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4} \} $
Il procedimento poi è uguale al tuo ma con $ \sqrt{k} $ al posto di k.
E come risultato:
$ \displaystyle\frac{e^{-k}}{16k}-\frac{1}{16k}+\frac{1}{16} $
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"
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Questo è davvero l'ultimo ho risolto(anche grazie a voi!!!:D ) tutti gli integrali doppi degli appelli vecchi che avevo:
Allora:
$ \displaystyle \int\int_{D_{k}} \frac{1}{(y+2x)^2\sqrt{y-x}}dxdy $
con dominio:
$ \displaystyle D_{k}= \{(x;y)\in \mathbb{R}^2: x+3\leq y \leq x+5 ; -2x+3\leq y \leq -2x+k\} $ con $ k \in (3; +\infty) $
risolvo col seguente cambio di variabili:
$ u= y+2x $ e $ v=y-x $
lo Jacobiano mi viene pari a $ detJ= \frac{1}{3} $
mentre il nuovo dominio si trasforma in:
$ \displaystyle D_{k'}= \{(u;v)\in \mathbb{R}^2: 3 \leq v \leq 5 ; 3 \leq u \leq k \} $
$ \displaystyle \frac{1}{3} \int_3^k du \int_3^5 \frac{1}{u^2 \sqrt{v}}dv $ che risulta di facile risoluzione...alla fine mi viene:
$ \displaystyle \frac{2(\sqrt{5}- \sqrt{3})(k-3)}{9k} $
a voi risulta??prometto che non abuserò più della vostra pazienza!grazie....
Allora:
$ \displaystyle \int\int_{D_{k}} \frac{1}{(y+2x)^2\sqrt{y-x}}dxdy $
con dominio:
$ \displaystyle D_{k}= \{(x;y)\in \mathbb{R}^2: x+3\leq y \leq x+5 ; -2x+3\leq y \leq -2x+k\} $ con $ k \in (3; +\infty) $
risolvo col seguente cambio di variabili:
$ u= y+2x $ e $ v=y-x $
lo Jacobiano mi viene pari a $ detJ= \frac{1}{3} $
mentre il nuovo dominio si trasforma in:
$ \displaystyle D_{k'}= \{(u;v)\in \mathbb{R}^2: 3 \leq v \leq 5 ; 3 \leq u \leq k \} $
$ \displaystyle \frac{1}{3} \int_3^k du \int_3^5 \frac{1}{u^2 \sqrt{v}}dv $ che risulta di facile risoluzione...alla fine mi viene:
$ \displaystyle \frac{2(\sqrt{5}- \sqrt{3})(k-3)}{9k} $
a voi risulta??prometto che non abuserò più della vostra pazienza!grazie....
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scrivi meglio!!!! La forma e' sostanziale in matematica
$ \displaystyle \frac{1}{3} \int_3^k \int_3^5 \frac{1}{u^2 \sqrt{v}}dvdu = $ $ \displaystyle \frac{1}{3} \int_3^k \frac{1}{u^2}du \int_3^5 \frac{1}{\sqrt{v}} dv $
$ \displaystyle \frac{1}{3} \int_3^k \int_3^5 \frac{1}{u^2 \sqrt{v}}dvdu = $ $ \displaystyle \frac{1}{3} \int_3^k \frac{1}{u^2}du \int_3^5 \frac{1}{\sqrt{v}} dv $
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Giusto Skz...ok...farò più attenzione!!!
Un altro piccolo hint me lo date??
Sia $ \displaystyle f(x;y)= \frac{\cos{(xy-x^2)}}{(y-x)\sin{(2y-2x)}} $
che cambio di variabili mi suggerite per calcolare l'integrale di f(x;y) su $ \displaystyle D_{k}= \{(x;y)\in \mathbb{R}^2: 4+x \leq y \leq k+x ; 0 \leq x \leq 2 \} $ con $ k \in (4, +\infty) $ ??
Io ne ho provato qualcuno però poi non riesco ad integrare quello che esce fuori...
Help!!
Grazie mille!!
Un altro piccolo hint me lo date??
Sia $ \displaystyle f(x;y)= \frac{\cos{(xy-x^2)}}{(y-x)\sin{(2y-2x)}} $
che cambio di variabili mi suggerite per calcolare l'integrale di f(x;y) su $ \displaystyle D_{k}= \{(x;y)\in \mathbb{R}^2: 4+x \leq y \leq k+x ; 0 \leq x \leq 2 \} $ con $ k \in (4, +\infty) $ ??
Io ne ho provato qualcuno però poi non riesco ad integrare quello che esce fuori...
Help!!
Grazie mille!!
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$ $u=x\quad v=y-x$ $
$ $\int_D \frac{\cos{(xy-x^2)}}{(y-x)\sin{(2y-2x)}}\textrm{d}x\textrm{d}y=$ $ $ $ \int_4^k\frac{1}{v\sin{2v}}\int_0^2\cos{(uv)}\textrm{d}u\textrm{d}v=$ $ $ $ \int_4^k\frac{1}{v^2\sin{2v}}\int_0^2\textrm{d}(\sin{(uv)})\textrm{d}v=$ $ $ $ \int_4^k\frac{1}{v^2}\textrm{d}v$ $
in questo caso $ \textrm{d}(\sin{(uv)})=v\cos{(uv)}\textrm{d}u $ perche' considero $ ~v $ alla stregua di una costante (sto integrando in $ ~u $)
$ $\int_D \frac{\cos{(xy-x^2)}}{(y-x)\sin{(2y-2x)}}\textrm{d}x\textrm{d}y=$ $ $ $ \int_4^k\frac{1}{v\sin{2v}}\int_0^2\cos{(uv)}\textrm{d}u\textrm{d}v=$ $ $ $ \int_4^k\frac{1}{v^2\sin{2v}}\int_0^2\textrm{d}(\sin{(uv)})\textrm{d}v=$ $ $ $ \int_4^k\frac{1}{v^2}\textrm{d}v$ $
in questo caso $ \textrm{d}(\sin{(uv)})=v\cos{(uv)}\textrm{d}u $ perche' considero $ ~v $ alla stregua di una costante (sto integrando in $ ~u $)
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