IMO2007/5
-
Simo_the_wolf
- Moderatore
- Messaggi: 1053
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pescara
IMO2007/5
Siano $ a,b $ interi positivi tali che $ 4ab-1 | (4a^2-1)^2 $. Dimostrare che $ a=b $.
Ciao ragà, sono nuovo da queste parti!
In questo momento mi viene solo questo:
$ a(4ab-1)-b(4a^{2}-1)=(b-a) $
$ ((4ab),(4a^{2}-1))|(b-a) $\rightarrow$ ((4ab-1)^{2}, (4a^{2}-1)^{2})|(b-a)^{2} $
Avete qualke idea su come continuare?
In questo momento mi viene solo questo:
$ a(4ab-1)-b(4a^{2}-1)=(b-a) $
$ ((4ab),(4a^{2}-1))|(b-a) $\rightarrow$ ((4ab-1)^{2}, (4a^{2}-1)^{2})|(b-a)^{2} $
Avete qualke idea su come continuare?
Ultima modifica di mod_2 il 21 ago 2007, 15:34, modificato 1 volta in totale.
-
mattilgale
- Messaggi: 372
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Lucca
- Contatta:
Se $ ab-1|(4a^2-1)^2 $ allora $ 4ab-1|b^2(4a^2-1)^2=16a^4b^2-8a^2b^2+b^2 $.
Del resto si ha $ 16a^4b^2=(4ab-1)4a^3b+4a^3b=(4ab-1)4a^3b+(4ab-1)a^2+a^2 $, perciò dev'essere $ 4ab-1|a^2-8a^2b^2+b^2 $
Ma $ -8a^2b^2=-(4ab-1)2ab-2ab $ da cui si ricava che $ 4ab-1|a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $
Ora, si ha $ \displaystyle\frac{(a-b)2}{4ab-1}=k $ da cui si ricava l'equazione $ a^2-2b(2k+1)a+b^2-k=0 $.
Essendo simmetrica, se (a, b) è soluzione lo è anche (b, a). Pertanto wlog a>b. Sia (a, b) una soluzione con b minimo.
Sostituendo nell'equazione non è difficile verificare che anche $ \left(b,~ \frac{b^2+k}{a}\right) $ è soluzione, inoltre si verifica a mano che $ \frac{b^2+k}{a} $ è intero e minore di b [quest'ultima cosa la si vede impostando una disuguaglianza e rimaneggiandola fino a ottenere cosa vera*]. Da qui la contraddizione. Deve quindi essere a=b.
*piva mi fa notare che c'è chi ha perso punti scrivendo qualcosa di simile. beh... supponiamo che ciò sia falso. allora abbiamo $ k\ge ab-b^2 $ che rimaneggiato opportunatamente diventa $ a-b\ge 4b^2(a-b) $ ossia $ 4b^2\le 1 $, assurdo.
Del resto si ha $ 16a^4b^2=(4ab-1)4a^3b+4a^3b=(4ab-1)4a^3b+(4ab-1)a^2+a^2 $, perciò dev'essere $ 4ab-1|a^2-8a^2b^2+b^2 $
Ma $ -8a^2b^2=-(4ab-1)2ab-2ab $ da cui si ricava che $ 4ab-1|a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $
Ora, si ha $ \displaystyle\frac{(a-b)2}{4ab-1}=k $ da cui si ricava l'equazione $ a^2-2b(2k+1)a+b^2-k=0 $.
Essendo simmetrica, se (a, b) è soluzione lo è anche (b, a). Pertanto wlog a>b. Sia (a, b) una soluzione con b minimo.
Sostituendo nell'equazione non è difficile verificare che anche $ \left(b,~ \frac{b^2+k}{a}\right) $ è soluzione, inoltre si verifica a mano che $ \frac{b^2+k}{a} $ è intero e minore di b [quest'ultima cosa la si vede impostando una disuguaglianza e rimaneggiandola fino a ottenere cosa vera*]. Da qui la contraddizione. Deve quindi essere a=b.
*piva mi fa notare che c'è chi ha perso punti scrivendo qualcosa di simile. beh... supponiamo che ciò sia falso. allora abbiamo $ k\ge ab-b^2 $ che rimaneggiato opportunatamente diventa $ a-b\ge 4b^2(a-b) $ ossia $ 4b^2\le 1 $, assurdo.
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]
mmm... 
forse sbaglio ma...
se $ 4ab-1 $ divide $ (4a^2-1)^2 $ allora $ 4ab-1 $ deve essere un divisore della cosa che sta a numeratore e che è scomponibile cosi':
$ (2a-1)(2a+1)(2a-1)(2a+1) $ quindi si compara $ 4ab-1 $ a tutti i possibili divisori e si ottiene sempre che a e b devono essere uguali oppure possono essere entrambi zero quando un fattore del numeratore non è divsibile per 4ab-1.
Esempio: uguagliando 2a+1 a 4ab-1 si ottiene alla fine che a=b=1, mentre ponendo 2a-1=4ab-1 si ha alla fine che b=0 ma anche a poteva essere 0.
Probabilmente avrò commesso qualche errore abbastanza enorme...comunque potrebbe andare come idea alternativa a quelle sopra??
forse sbaglio ma...
se $ 4ab-1 $ divide $ (4a^2-1)^2 $ allora $ 4ab-1 $ deve essere un divisore della cosa che sta a numeratore e che è scomponibile cosi':
$ (2a-1)(2a+1)(2a-1)(2a+1) $ quindi si compara $ 4ab-1 $ a tutti i possibili divisori e si ottiene sempre che a e b devono essere uguali oppure possono essere entrambi zero quando un fattore del numeratore non è divsibile per 4ab-1.
Esempio: uguagliando 2a+1 a 4ab-1 si ottiene alla fine che a=b=1, mentre ponendo 2a-1=4ab-1 si ha alla fine che b=0 ma anche a poteva essere 0.
Probabilmente avrò commesso qualche errore abbastanza enorme...comunque potrebbe andare come idea alternativa a quelle sopra??
Perchè mai 4ab-1 dovrebbe essere uguale a uno di quei quattro fattori?
Potrebbe essere un divisore di uno di quei quattro fattori, o meglio, avere qualche pezzetto all'interno di un fattore e qualche altro all'interno di un altro.
$ ~ \mbox{fattorizzazioni algebriche} \neq \mbox{fattorizzazioni degli interi} $
Potrebbe essere un divisore di uno di quei quattro fattori, o meglio, avere qualche pezzetto all'interno di un fattore e qualche altro all'interno di un altro.
$ ~ \mbox{fattorizzazioni algebriche} \neq \mbox{fattorizzazioni degli interi} $
