Proprietà carina sugli archi di feuerbach

[salva90]

Sia H l'ortocentro di ABC e sia K il punto medio di AH.
Siano E e F i piedi delle altezze rispettivamente da B e da C.
E' noto che K, E, F stanno sulla circonferenza di Feuerbach di ABC.
Provare che K biseca l'arco EF

ps: assicuro che stavolta non si tratta di conti brutti, ma sono di angoli carini

dimenticavo: questo problema (come del resto tuttii gli altri da me postati in geometria) sono da considerarsi vietati (oltre che agli Imo-Boys) a gabriel

[Sepp]

Sia M il punto medio di BC, P il piede dell'altezza condotta da A a BC, N il centro di Feuerbach.
Poichè <MPH = 90°, MN e PH si incontrano in un punto sulla circonferenza, che deve essere K. Quindi M, N, K sono allineati.
C, E, F, B appartengono alla circonferenza X di centro M.
EF è asse radicale di Feuerbach e X, quindi EF è perpendicolare a MK, da cui la tesi.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

ok siccome qualcuno ha già pestato la soluzione ora posso postare la mia:

AFHE ciclico e KF e KE raggi

[salva90]

La mia era molto più incasinata...
Detto O il circocentro e N il centro di Feuer abbiamo, chiaramente, NK//AO, inoltre NK è il raggio di feuerbach e ci piacerebbe molto che fosse perpendicolare alla corda EF. A questo punto eliminiamo per sempre Feuerbach e dimostriamo che AO e EF sono perpendicolari. Ma questo è vero per angle chasing (che non sto a postare perchè è veramente orrida la figura)...

Quando gabriel mi ha detto la sua ci sono rimasto malissimo

[EvaristeG]

Signori ... un po' di fatti noti:
1) le altezze del triangolo sono bisettrici del suo triangolo ortico
2) la circonferenza di Feuerbach è cerchio circoscritto del triangolo ortico
3) la bisettrice interna di un triangolo uscente da A incontra la circonferenza circoscritta ad esso nel punto medio dell'arco BC.

E mi verrebbe voglia di firmarmi Queneau, ma non esageriamo con la sboroneria.