Vettori liberi nello spazio

[filyterzo]

Salve. Qualcuno sa perché la classe di vettori liberi nello spazio viene indicata con "ν" (o "ni")e come pedice g?

[EvaristeG]

Ciao e benvenuto.
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Buona navigazione.

[filyterzo]

Nessuno mi sa rispondere?

[moebius]

Se capissi il senso della domanda...

[filyterzo]

Allora. L'insieme dei vettori liberi nello spazio ordinario viene indicato con "Ni" e "g" come pedice. Io volevo capire se c'era un senso su questa convenzione. Grazie.

[Nonno Bassotto]

Beh, forse dovresti dirci cos'è lo spazio ordinario (R^3?) e soprattutto cosa sono i vettori liberi. Non sono termini comunemente usati in matematica, che io sappia, forse in fisica?

[filyterzo]

Forse potrebbe essere per convenzione utilizzato solo dal professore che ha scritto il libro. Si parlavo di R3, dei vettori liberi in R3.

[Martino]

Sì, ma cosa sono i vettori liberi?

[Neo85]

Sì, ma cosa sono i vettori liberi?

In fisica non ha senso modellizzare lo spazio come uno spazio vettoriale. Nello spazio vettoriale a causa di v + 0 = v hai privilegiato un punto che è l'origine e quindi dato un punto individui un vettore. La relatività (di Galileo nhe non scomodiamo Einstein) dice che non esiste un punto privilegiato. Ecco nascere la geometria affine quella che non si occupa di definire l'origine. Allora dati due punti trovi un unico vettore di R^n. Quindi i vettori sono liberi di muoversi mentre in uno spazio vettoriale trovano punto di applicazione nell'origine.

Ciao Neo

[killing_buddha]

@neo: Nella geometria affine, dati due "punti" di coordinate $ \vec{x}~ $ e $ \vec{y}~ $ il vettore è definito come la loro "differenza" (o "distanza") $ \vec{y}- \vec{x}~ $ dove la componenente i-esima è la differenza $ y_i - x_i~ $

é così o mi confondo? In cosa è diversa in sostanza dalla geometria proiettiva?

[Martino]

Sì, ma cosa sono i vettori liberi?

In fisica non ha senso modellizzare lo spazio come uno spazio vettoriale. Nello spazio vettoriale a causa di v + 0 = v hai privilegiato un punto che è l'origine e quindi dato un punto individui un vettore. La relatività (di Galileo nhe non scomodiamo Einstein) dice che non esiste un punto privilegiato. Ecco nascere la geometria affine quella che non si occupa di definire l'origine. Allora dati due punti trovi un unico vettore di R^n. Quindi i vettori sono liberi di muoversi mentre in uno spazio vettoriale trovano punto di applicazione nell'origine.

Ciao Neo

Quindi la "classe dei vettori liberi" non è altro che "l'insieme delle differenze di punti"?

[EvaristeG]

Beh, formalmente uno spazio affine è un insieme E con una mappa
$ f:E\times E\to V $
con V spazio vettoriale, tale che
(i) f(P,P)=0 per ogni P in E
(ii) f(P,Q)+f(Q,R)+f(R,P)=0 per ogni P,Q,R in E
(iii) f(P,Q)=v ha, fissati P in E e v in V, sempre una ed una sola soluzione Q in E.
Gli elementi di E vengono detti, di solito, punti.
Non so in fisica, ma in matematica di solito si usa quando NON si riesce a trovare un'origine sensata (gli spazi di soluzione delle equazioni differenziali, gli spazi delle connessioni su un fibrato, tanti buffi oggetti della geometria algebrica, ...).

[Neo85]

Beh, formalmente uno spazio affine è un insieme E con una mappa
$ f:E\times E\to V $
con V spazio vettoriale, tale che
(i) f(P,P)=0 per ogni P in E
(ii) f(P,Q)+f(Q,R)+f(R,P)=0 per ogni P,Q,R in E
(iii) f(P,Q)=v ha, fissati P in E e v in V, sempre una ed una sola soluzione Q in E.
Gli elementi di E vengono detti, di solito, punti.
Non so in fisica, ma in matematica di solito si usa quando NON si riesce a trovare un'origine sensata (gli spazi di soluzione delle equazioni differenziali, gli spazi delle connessioni su un fibrato, tanti buffi oggetti della geometria algebrica, ...).

Certo. Dico solo che in fisica non ha senso cercare un modello per i fenomeni che abbia un'origine privilegiata. Quindi gli spazi affini sono i migliori per descrivere i fenomeni e vengono sostituiti agli spazi vettoriali.

Il fatto che l'insieme delle soluzioni di un equazione differenziale NON omogenea sia uno spazio affine viene usato abbondantemente in meccanica. Quelle omogenee formano spazio vettoriale però :p

[Neo85]

Quindi la "classe dei vettori liberi" non è altro che "l'insieme delle differenze di punti"?

Praticamente. In questo modo puoi spostare i vettori nello spazio senza avere problemi si nessun genere. Ovvero un vettore libero appartiene allo spazio affine.

[Martino]

Quindi l'insieme dei vettori liberi di uno spazio affine non è altro che lo spazio vettoriale che agisce sui punti

Non conoscevo notazioni particolari in merito.