Esattamente due danno lo stesso residuo

[Sepp]

Trovare tutti gli interi nonnegativi $ a < 2007 $ tali che $ x^2 + a \equiv 0 \pmod {2007} $ ha esattamente due soluzioni intere nonnegative $ x < 2007 $.

EDIT: Austria 2007

[Zoidberg]

Dovrei studiare per la maturità, invece ho perso un sacco di tempo a pensarci senza cavare un ragno dal buco!!

[pic88]

Scusate l'idiozia, ma la risposta non è "tutti gli a= 2007 - residuo"?
Ogni residuo quadratico diverso da zero è residuo di un qualche $ {x} $, di $ {2007-x} $, e di nient'altro.

[FeddyStra]

Scusate l'idiozia, ma la risposta non è "tutti gli a= 2007 - residuo"?
Ogni residuo quadratico diverso da zero è residuo di un qualche $ {x} $, di $ {2007-x} $, e di nient'altro.

Attento: 2007 NON è primo.
Per esempio:
$ 0^2\equiv(3 \cdot 223)^2 \equiv (2 \cdot 3\cdot 223)^2 $ mod 2007.

{223, 892, 1561}

[Zoidberg]

Qualcuno sarebbe cosi gentile da farmi vedere come si dimostra?

[Marco]

@FeddySta: credo che hai commesso un errore di segno...

@Zoidberg:

Conosci il Teorema Cinese? Smonti il problema modulo 2007 come un problema equivalente modulo ... e modulo ...; conti il numero di soluzioni al variare di a nei moduli piccoli; ogni coppia di soluzioni modulo ... e modulo ... si rimonta ad una unica soluzione modulo 2007; imponi che ci siano esattamente due soluzioni; questo ti dà le informazioni su a modulo ... e modulo ... e ti permette di risolvere.