Una sfera su un piano

[moebius]

Sinceramente non sono un fisico e mi prometto di rileggere il tutto moooltooo accuratamente...
Io ero partito da un'osservazione molto più banale. Se ruotate la sfera rispetto alla normale al piano, la sfera non è vincolata a ruotare rispetto a tale asse una volta che la lasciate, quindi...

[moebius]

Tanto per capire ma... quello che ho detto ha senso oppure è talemente stupido che non l'avete nemmeno considerato?

[NEONEO]

Sì, sì, ha senso, perfettamente!! Guarda, secondo i miei calcoli dovrebbe essere così:

$ \displaystyle f(x,t)=\sqrt{\left (\frac{A_{0s}}{\sqrt{(x-h_s)^2+D^2}}\right )^2+\left (\frac{A_{0d}}{\sqrt{(x-h_d)^2+D^2}}\right )^2 $ $ \displaystyle +2a_{0s}a_{0d} cos \left ( \phi + \frac{2 \pi \sqrt{(x-h_s)^2+D^2}-\sqrt{(x-h_d)^2+D^2}}{\lambda} \right )} $

[moebius]

Hmmm... sinceramente non è che abbia capto molto ma... io e la fisica non ci prendiamo!
Scrivo solo quello che secondo me segue dai ... che avevo lasciato.
Per quello che ho capito, quanto detto sino ad ora (tralasciando 3C273, per la quale farò un commento dopo) assumevano che la sfera dopo la rotazione intorno alla normale al piano dovesse muoversi vincolatamente a tale asse
Ma questo (IMHO) non è vero! Quindi boh, magari il modello di comesichiama nel caso reale ha effettivamente riscontro ma la questione fondamentale è un'altra.
Tralasciando il fatto che SO(3) (leggi le rotazioni) è un gruppo bastardo (leggi non abeliano!), cosa che nel nostro caso ha un'importanza molto relativa come mi ha fatto osservare 3C273 .... Tralasciando questo dicevo, il nocciolo della questione sta appunto nelle rotazioni rispetto agli "altri" assi.
A questo punto arriva il commento a quanto detto da 3C273.
Chiamiamo n l'asse che istantaneamente passa per il punto di contatto e per il centro geometrico della sfera. Se ruoto sfera rispetto alla posizione di equilibrio, in effetti esiste un torque rispetto ad n subito dopo la rotazione. La domanda è, che fine fa quel momento angolare?
Adesso la mia risposta, che sarà l'ennesima cretinata visto che è stata partorita really late this night (chi sa se a pensarci di giorno otterrei risultati migliori...):
il punto di contatto, dopo un tempo dt si sarà spostato, così come l'asse. Quindi l'asse su cui vado a considerare il torque non è quello di prima, ma uno rispetto al quale c'erà già un momento angolare dato dal centro di massa e dall'attrito della sfera con il piano inclinato (perchè prima il punto di contatto non passava per tale asse). In pratica è come se la sfera andasse a passeggio per il piano togliendo momento angolare agli assi
Lo so, detta così è un po' una favoletta, ma la mia chiarezza espositiva è bounded, ma veramente bounded!
Per finire secondo me ha più senso calcolare istantaneamente il torque rispetto al punto di contatto subito dopo la rotazione. La sua direzione individua la direzione del momento angolare. Inoltre la velocità di ogni punto della sfera è quindi ortogonale a tale direzione e compatibile con il verso del momento angolare.
A meno di abbagli geometrici, la velocità del centro di massa è in direzione (e verso) della sua posizione precedente...
Adesso attendo fustigazioni ma sopratutto un vero supereroe con il mantello che mi calcoli la lagrangiana del sistema, così siamo tutti più felici

[BMcKmas]

Non vorrei fare critiche, tuttavia quello che 'prevede' moebius è molto simile a quello che ho scritto io nell'ultimo post (evidentemente non mi sono spiegato bene).
Tuttavia vorrei far notare alcune incongruenze, magari di linguaggio, ma che possono tuttavia generare equivoci:
1) il 'torque' non mi risulta che sia definito per questo tipo di problema (non so quale sia l'origine di questa parola che molti usano nel post, ma se la sua traduzione è 'momento torcente' si tratta di una grandezza che misura reazioni vincolari interne nei solidi monodimensionali ). Nel caso in esame si dovrebbe parlare di momento delle forze esterne (trattandosi di meccanica del corpo rigido). L'unica definizione che penso si riferisca a questa grandezza è il momento prodotto dalle forze peso calcolate rispetto a C e proiettato sulla normale al la superficie di contatto.
2) il momento complessivo delle forze esterne è associato alla derivata del momento della quantità di moto (o momento angolare) e quindi alla accelerazione angolare e non alla velocità.
3) come ho già indicato (ma non ho ricevuto alcun commento in proposito) il tipo di vincolo che si vuole modellare impone una significativa differenza tra il lavoro necessario per produrre uno spin rispetto a quello necessario per rotolare (e per moti piccoli il rapporto tra le due grandezze diverge). Dubito che abbia senso chiedersi come sia la Lagrangiana se non si stabilisce quale tipo di vincolo è necessario rappresentare. A tale proposito faccio notare che la Lagrangiana è efficace nei campi conservativi (e vincoli ideali) ma diviene di scarsa utilità se c'è dissipazione. Nel caso in esame, l'attrito è un fenomeno imprescindibile ma non fa lavoro (o meglio possiamo trascurare il lavoro) solo se la sfera rotola, se in qualche modo striscia la cosa è molto diversa.

ciao

[moebius]

1) Passo (come word, sottolineo le parole che non conosco ). Per me cmq era il momento delle forze esterne.
2) Ok, ma se prima era fermo...
3) Ecco questo passo decisamente perchè del modello non ho capito quasi niente. Io volevo la lagrangiana del vincolo ideale con puro rotolamento, da cui spero esca un equilibrio stabile.

Bye!

[BMcKmas]

1) Passo (come word, sottolineo le parole che non conosco ). Per me cmq era il momento delle forse esterne.
2) Ok, ma se prima era fermo...
3) Ecco questo passo decisamente perchè del modello non ho capito quasi niente. Io volevo la lagrangiana del vincolo ideale con puro rotolamento, da cui spero esca un equilibrio stabile.

Bye!

1) quando produci lo 'squilibrio' ovvero sposti di poco il baricentro per vedere se la posizione è stabile, le forze esterne non sono necessariamente un solo momento puro, ma ci può essere anche una risultante, infatti anche il centro di massa subisce una accelerazione. Questo implica che il momento delle forze esterne dipende dal polo da dove lo calcoli e quindi lo devi definire.

2) Si ma solo nel momento di incipiente movimento, poi per ogni tempo finito accelerazione e velocità in genere non sono vettori paralleli

3) Se si assume che il vincolo sia di puro rotolamento, l'equilibrio è sicuramente stabile. Ovvero in qualunque direzione la sfera rotoli sul piano inclinato il CM si alza. Ma il problema è tutto nella plausibilità di quel maledetto vincolo!

ciao

[moebius]

1) Ma in effetti io prendevo per polo il punto di contatto (quindi lo definisco)
2) Ma a me interessa giusto il moto incipiente...
3) Ecco... a me questo (come credo ad altri) non era proprio ovvio... Però forse tu sei riuscito a spiegarlo ed io non ho capito...

[moebius]

Mi dicono dalla regia: Torque

[BMcKmas]

Conoscevo l'uso 'improprio' di tale termine nella letteratura anglosassone (anche nel Feynman c'è) e, di conseguenza, l'uso ancor più fuzzy che ne viene fatto nelle traduzioni.
Tuttavia non mi sembra appropriato e so che confonde le idee, soprattutto a quelli che stanno imparando.

In particolare, come fa il tuo 'link', usare indistintamente: coppia, momento e torque come se fossero sinonimi, mi sa più di articolo di 'quattro ruote' (con tutto il rispetto) che di un dizionario scientifico.

Siccome in Fisica le quantità sono definite opertativamente:

il momento (di una forza applicata in Q rispetto a un polo P) è un prodotto vettoriale del vettore PQ e della forza

una coppia è un sistema di due forze aventi la stessa direzione e verso opposto (ovvero è il sistema minimo non banale a risultante nulla), una coppia ha un momento caratteristico (il momento della coppia) che si dimostra essere indipendente dal polo

un 'torque' (o momento torcente) è la componente assiale del momento risultante, calcolato rispetto al baricentro, delle tensioni che agiscono sulla sezione di un solido monodimensionale.

Se poi vogliamo dire che tutte queste quantità (momento, momento della coppia e torque) hanno le stesse dimensioni, allora siamo d'accordo (per inciso sono le stesse dimensioni anche del lavoro e dell'energia )

ciao

[moebius]

Guarda... come ho già detto sull'argomento... passo...
Mi son limitato a riportare quanto dettomi dalla regia...
Se la regia avrà voglia, iterverrà lei sull'argomento
Tornando alla sfera... io continuo a non capire la tua spiegazione del perchè il centro di massa si alzi sempre

[BMcKmas]

Sinceramente non so chi (o cosa) sia la regia: un grande fratello anche qui?
Se c'è, che batta un colpo e dica la Sua sul termine 'torque'. In ogni caso, dici che 'passi' ma te ne fai portavoce.

Per tornare all'argomento, provo a spiegarmi in senso fisico: quando sposto il baricentro attuando una rotazione infinitesima attorno alla normale e lascio la sfera, sono d'accordo che il baricentro si sposta e (seppur con infinitesimi di ordine superiore) si abbassa. Tuttavia l'evidenza è che la sfera tende a rotolare, invece che continuare a ruotare sull'asse, e ritrova l'equilibrio. Se la condizione di partenza fosse instabile, appena spostata, la sfera dovrebbe allontanarsi indefinitamente dalla condizione di partenza ma questo moto evidentemente non si verifica negli 'esperimenti'.

Apparentemente, il vincolo di contatto con attrito (che non è per niente semplice da modellare) esercita nei confronti del moto di spin un effetto stabilizzate che non può essere trascurato nell'analisi del fenomeno.

Ho pertanto tentato di proporre una giustificazione del moto, che a mio avviso richiede una modellazione un po' più verosimile del vincolo di contatto. A tale proposito ho anche richiesto commenti, ma, almeno finora, non mi sembra che qualcuno si sia espresso.

ciao

[moebius]

Sinceramente non so chi (o cosa) sia la regia: un grande fratello anche qui?
Se c'è, che batta un colpo e dica la Sua sul termine 'torque'. In ogni caso, dici che 'passi' ma te ne fai portavoce.

Poichè mi è stato fatto notare che il termine era "corretto" nel senso che veniva usato in vari testi e in alcuni corsi di laurea in fisica (dove spero non usino parole a casaccio ) mi sono limitato a prendere atto della cosa. Sino ad allora non l'avevo mai sentito ma non si finisce mai d'imparare

Per tornare all'argomento, provo a spiegarmi in senso fisico: quando sposto il baricentro attuando una rotazione infinitesima attorno alla normale e lascio la sfera, sono d'accordo che il baricentro si sposta e (seppur con infinitesimi di ordine superiore) si abbassa. Tuttavia l'evidenza è che la sfera tende a rotolare, invece che continuare a ruotare sull'asse, e ritrova l'equilibrio. Se la condizione di partenza fosse instabile, appena spostata, la sfera dovrebbe allontanarsi indefinitamente dalla condizione di partenza ma questo moto evidentemente non si verifica negli 'esperimenti'.

Apparentemente, il vincolo di contatto con attrito (che non è per niente semplice da modellare) esercita nei confronti del moto di spin un effetto stabilizzate che non può essere trascurato nell'analisi del fenomeno.

Ho pertanto tentato di proporre una giustificazione del moto, che a mio avviso richiede una modellazione un po' più verosimile del vincolo di contatto. A tale proposito ho anche richiesto commenti, ma, almeno finora, non mi sembra che qualcuno si sia espresso.

ciao

Ecco questa proprio non l'ho capita... Quello che sostengo io è che con il modello di vincolo puntiforme e puro rotolamento la posizione di equilibrio è stabile.
Quello che non capisco e come concludi che il baricentro si abbassi dopo una rotazione rispetto alla normale, visto che nessuno vincola la sfera a ruotare intorno all'asse normale in seguito alla "perturbazione".
Se dimostri questo (ossia che il baricentro si abbassa) allora è "ovvio" che il modello è sbagliato, ma senza questo...
Io quindi proverei a dimostrare che il baricentro si abbassa e dopo passerei a proporre modelli più "fisicamente" verosimili.

[BMcKmas]

Scusa ma comincio ad avere qualche difficoltà a seguirti.

1) Non ho ancora capito chi è la regia. Però comincio a pensare che non sia del Forum.

2) Che molti termini specifici si usino impropriamente in vari contesti (soprattutto quando imperano cattive traduzioni di testi anglosassoni) è una evidenza ben nota. Comunque la finirei qui perchè la cosa non è molto interessante (almeno in questo contesto) e comincia a diventare pallosa.

3) A me sembrava di aver capito che tu ritenessi la posizione instabile. Altrimenti la pensi come me! Il problema in questione è però che un eventuale moto di spin potrebbe sembrare non incompatibile con un contatto di puro rotolamento in C.

4) Per quanto riguarda il moto del baricentro nel caso si spin, è evidente che esso si abbassa quando la sfera ruota attorno a CO. Considera infatti il segmento GH che congiunge il baricentro con il punto più vicino a G della retta CO. Durante la rotazione di spin, G descrive un arco della circonferenza di raggio HG, tale traiettoria, per simmetria, ha il massimo nella posizione di partenza.

5) Se invece di spinnare la sfera rotola in C, allora non è difficile vedere che la traiettoria di G è concava verso l'alto (sotto le condizioni che ho già calcolato) per ogni direzione di rotolamento nel piano di appoggio.

Però mi sembra che continuo a ripetermi .....


ciao

[moebius]

4) Per quanto riguarda il moto del baricentro nel caso si spin, è evidente che esso si abbassa quando la sfera ruota attorno a CO. Considera infatti il segmento GH che congiunge il baricentro con il punto più vicino a G della retta CO. Durante la rotazione di spin, G descrive un arco della circonferenza di raggio HG, tale traiettoria, per simmetria, ha il massimo nella posizione di partenza.

Questo non lo capisco... Fai ruotare la sfera intorno a CO (di una rotazione infinitesima). La lasci libera. A quel punto la traiettoria di G NON è un arco di circonferenza di raggio HG (non a priori almeno) perchè nessuno vincola la sfera a continuare a ruotare intorno all'asse CO, anzi...

Sinceramente non sono un fisico e mi prometto di rileggere il tutto moooltooo accuratamente...
Io ero partito da un'osservazione molto più banale. Se ruotate la sfera rispetto alla normale al piano, la sfera non è vincolata a ruotare rispetto a tale asse una volta che la lasciate, quindi...

Per quello che ho capito, quanto detto sino ad ora (tralasciando 3C273, per la quale farò un commento dopo) assumevano che la sfera dopo la rotazione intorno alla normale al piano dovesse muoversi vincolatamente a tale asse
Ma questo (IMHO) non è vero!

Io volevo la lagrangiana del vincolo ideale con puro rotolamento, da cui spero esca un equilibrio stabile.

Quello che sostengo io è che con il modello di vincolo puntiforme e puro rotolamento la posizione di equilibrio è stabile.

Sinceramente anche a me sembra di ripetermi

Ciao