Gruppi e chiarezza
Gruppi e chiarezza
1.)L'operazione è binaria e interna in G
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
4.) L'operazione è associativa
5.) Il gruppo è anche commutativo (Abeliano)
Detto questo, che per me è correttissimo quando si hanno
gruppi che sono gruppi sia addittivi che moltiplicativi
numerici
Se ho ad esempio Q
E dico che (Q,*) è un gruppo va benone.
E se poi ho (Q, +,*)
Anche quì va benone
Ma se invece il Gruppo lo definisco in (Q/0,*)
allora poi quando faccio il campo
non posso scrivere (Q/0, +,*) poichè il caro
gruppo addittivo non avrebbe + il suo elemento neutro
Ma allora ci tocca usare due definizioni?
Una se si usa Q?
E una se si usa Q/0?
O c'è una convenzione accettata universalmente.
Io credo che ci siano diverse definizioni di gruppo
che si basano sul buon senso.
Ma molti studiano meccanicamente e dogmaticamente
E si fissano su una sola.
Quindi ti dicono che (Q,*) non è un gruppo
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
4.) L'operazione è associativa
5.) Il gruppo è anche commutativo (Abeliano)
Detto questo, che per me è correttissimo quando si hanno
gruppi che sono gruppi sia addittivi che moltiplicativi
numerici
Se ho ad esempio Q
E dico che (Q,*) è un gruppo va benone.
E se poi ho (Q, +,*)
Anche quì va benone
Ma se invece il Gruppo lo definisco in (Q/0,*)
allora poi quando faccio il campo
non posso scrivere (Q/0, +,*) poichè il caro
gruppo addittivo non avrebbe + il suo elemento neutro
Ma allora ci tocca usare due definizioni?
Una se si usa Q?
E una se si usa Q/0?
O c'è una convenzione accettata universalmente.
Io credo che ci siano diverse definizioni di gruppo
che si basano sul buon senso.
Ma molti studiano meccanicamente e dogmaticamente
E si fissano su una sola.
Quindi ti dicono che (Q,*) non è un gruppo
Spostato dal Glossario.
Esiste una definizione di gruppo e una di campo, e spero che tu le sappia. Poi, in qualche caso succede che estendendo un gruppo (G,+) a (G,+,*) salti fuori un campo, altre volte no. Non è che debba succedere per forza e in ogni caso. E' un po' strano che tu abbia questi dubbi.
Ultima cosa: benvenuto nel forum, e ricordati che qui si parla di Olimpiadi di Matematica.
Esiste una definizione di gruppo e una di campo, e spero che tu le sappia. Poi, in qualche caso succede che estendendo un gruppo (G,+) a (G,+,*) salti fuori un campo, altre volte no. Non è che debba succedere per forza e in ogni caso. E' un po' strano che tu abbia questi dubbi.
Ultima cosa: benvenuto nel forum, e ricordati che qui si parla di Olimpiadi di Matematica.
Scusami, sono sempre io, ho avuto un prob con il server è ho fatto un altro utente.
No, non ho dubbi
E le definizioni le conosco.
Quello che voglio dire è
Posso dire che (Q,*) è un gruppo?
Perchè quello che trovo è sempre (Q/0,*) in tutti i libri
e con la definizione di gruppo che non richiede l'inverso diverso da zero.
Ma poi quando parlano di campo , parlano di (Q,+,*)
secondo me sbagliando.
Essendo le due definizioni di gruppo moltiplicativo differenti,
alla fine nel (Q,+,*) mancherà l'elemento neutro del gruppo addittivo
No, non ho dubbi
E le definizioni le conosco.
Quello che voglio dire è
Posso dire che (Q,*) è un gruppo?
Perchè quello che trovo è sempre (Q/0,*) in tutti i libri
e con la definizione di gruppo che non richiede l'inverso diverso da zero.
Ma poi quando parlano di campo , parlano di (Q,+,*)
secondo me sbagliando.
Essendo le due definizioni di gruppo moltiplicativo differenti,
alla fine nel (Q,+,*) mancherà l'elemento neutro del gruppo addittivo
Già da questo deduco che non conosci le definizioni, o per lo meno le conosci ma non le sai applicare.phun ha scritto:No, non ho dubbi
E le definizioni le conosco.
Quello che voglio dire è
Posso dire che (Q,*) è un gruppo?
Quel "diverso da zero" non c'entra un fico secco, toglilo e vedrai che ti tornerà tutto.3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
Sempre cosi presuntuosetto?
1.)L'operazione è binaria e interna in Q
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
4.) L'operazione è associativa
5.) Il gruppo è anche commutativo (Abeliano)
E (Q,*) è un gruppo, e torna tutto.
Senza togliere quel diverso da zero, che non spieghi perchè dovrei toglierlo.
E se lo tolgo non torna nulla, perchè lo zero di Q non è invertibile.
1.)L'operazione è binaria e interna in Q
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
4.) L'operazione è associativa
5.) Il gruppo è anche commutativo (Abeliano)
E (Q,*) è un gruppo, e torna tutto.
Senza togliere quel diverso da zero, che non spieghi perchè dovrei toglierlo.
E se lo tolgo non torna nulla, perchè lo zero di Q non è invertibile.
Era scritta sopra1.)L'operazione è binaria e interna in Q
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a appartenente a Q diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
4.) L'operazione è associativa
5.) Il gruppo è anche commutativo (Abeliano)
E non di gruppo, ma di (Q,*) come gruppo, altrimenti
non ha senso per ogni a diverso da zero non avendo senso lo zero.
Nel caso generale avrei parlato di....
1.)L'operazione è binaria e interna in G
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a appartenente G esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
Ma se c'è un campo numerico ovviamente lo zero crea problemi per
l'invertibilità e bisogna farci i conti.
Ultima modifica di phun il 25 mag 2007, 21:08, modificato 1 volta in totale.
mmmh in verità a me sembra che $ (\mathbb{Q};*) $ non sia minimamente un gruppo, mentre lo sono sia $ (\mathbb{Q} - \{0\};*) $ che $ (\mathbb{Q};+) $. E poi parlare di zero e di unità ha senso in un corpo, al massimo in un anello (se l'unità la possiede), in un gruppo ha senso parlare di elemento neutro e basta
Si ma Q è un campo, corpo commutativo
quindi ha senso eccome.
E (Q,*) verifica tutte le proprietà di gruppo.
E comunque
Non dirmi che è l'elemento neutro del gruppo addittivo Q
perchè allora anche io posso definirlo in quel modo.
quindi ha senso eccome.
E (Q,*) verifica tutte le proprietà di gruppo.
E comunque
E infatti tu lo togli senza nemmeno definirlo ....(Q/0.*)Ma se c'è un campo numerico ovviamente lo zero crea problemi per
l'invertibilità e bisogna farci i conti.
Non dirmi che è l'elemento neutro del gruppo addittivo Q
perchè allora anche io posso definirlo in quel modo.
emmm....non la possiedeal massimo in un anello (se l'unità la possiede)
Ultima modifica di phun il 25 mag 2007, 21:33, modificato 1 volta in totale.
Ciao Phun.
Tu dici:
Un campo è un anello commutativo tale che, tolto lo zero, diventi un gruppo moltiplicativo. Questa è la definizione che conosco io.
Ciao.
Tu dici:
Ma non è vero, perché in un gruppo ogni elemento ha un inverso, e 0 in Q non ha nessun inverso moltiplicativo.phun ha scritto:(Q,*) verifica tutte le proprietà di gruppo.
Un campo è un anello commutativo tale che, tolto lo zero, diventi un gruppo moltiplicativo. Questa è la definizione che conosco io.
Ciao.
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"
Ciao
e (Q,*,+) un bel Campicello
Secondo questa definizione, che è corretta (Q,*) è un bel gruppazzo1.)L'operazione è binaria e interna in Q
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
4.) L'operazione è associativa
5.) Il gruppo è anche commutativo (Abeliano)
e (Q,*,+) un bel Campicello
No noUn campo è un anello commutativo tale che, tolto lo zero, diventi un gruppo moltiplicativo
Un Anello non ha elemento neutro moltiplicativo
e non ha inverso.
E' appena un semigruppo rispetto all operazione di moltiplicazione
Al massimo un Campo è un corpo commutativo tale chè tolto lo zero
diventi un gruppo moltiplicativo
Sì ma la distinzione sta proprio nel fatto che se guardi (Q;+,*) come un campo, allora ha senso parlare di zero e di unità ed essendo un campo gli elementi diversi dallo zero del campo formano un gruppo di cui 1 è l'elemento neutro. Se guardi (Q;+) come un gruppo allora il numero zero è l'elemento neutro, ed ha buoni motivi di essere chiamato zero poichè la notazione è additiva. Checchè tu ne voglia dire, il monoide (Q;*) non soddisfa gli assiomi di gruppo proprio perchè il numero 0 non è invertibile. Quando dico Q\{0} intendo che va tolto proprio il numero 0, che poi in questo specifico caso è anche lo zero del campo (Q;+,*) ma zero inteso come elemento neutro del gruppo additivo del campo. Il fatto che il gruppo (Q;+) possa ammettere una seconda operazione interna che rispetti, insieme alla prima, gli assiomi di campo, non ti autorizza a parlare di "zero" nel monoide (Q;*), poichè in esso l'elemento neutro rispetto alla * è 1, e non vi è alcun altro elemento "particolare". Inoltre come tu ben sai in un qualsiasi gruppo (quindi a maggior ragione nel tuo (Q;*)) valgono le leggi di cancellazione $ \forall a,b,c \in \mathbb{Q} $, e succede che $ ab=ac \implies b=c $pertanto , se (Q;*) fosse un gruppo in particolare varrebbero per a=0 e quindi dalla tua definizione seguirebbe che ad esempio $ 0*1=0*2 \implies 1=2 $. Nota bene che le leggi di cancellazione valgono per ogni a,b,c quindi anche per 0 che è nel tuo gruppo.
Per inciso: un anello non ha neutro moltiplicativo??? e i poveri anelli di polinomi su di un campo? e gli anelli di matrici su un campo? e le classi di resto modulo n? e gli interi di Gauss? e la somma diretta esterna di due campi qualsiasi?
Per inciso: un anello non ha neutro moltiplicativo??? e i poveri anelli di polinomi su di un campo? e gli anelli di matrici su un campo? e le classi di resto modulo n? e gli interi di Gauss? e la somma diretta esterna di due campi qualsiasi?