Siano $ P(x),Q(x),R(x),S(x) \in \mathbb{R} [ x ] $. Dimostrare che il polinomio
$ \displaystyle f(x) = \int_1^x P(t)Q(t) dt \int_1^x R(t)S(t) dt $$ \displaystyle - \int_1^x P(t)R(t) dt \int_1^x Q(t)S(t) dt $
è divisibile per $ (x-1) ^4 $
Divisibilità di polinomi integrali...
-
- Moderatore
- Messaggi: 1053
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pescara
Poiche' f(x) e' un polinomio, basta provare 0=f(1)=f'(1)=f''(1)=f'''(x).
Le prime tre uguaglianze sono abbastanza triviali, l'ultima e' conseguenza del fatto che
$ f'''(1)=\left((PQ)'RS+(RS)'PQ-(RP)'QS-(QS)'PR\right)(1)= $
$ =\left(\sum_{cyc}P'QRS-\sum_{cyc}P'QRS\right)(1)=0 $
Le prime tre uguaglianze sono abbastanza triviali, l'ultima e' conseguenza del fatto che
$ f'''(1)=\left((PQ)'RS+(RS)'PQ-(RP)'QS-(QS)'PR\right)(1)= $
$ =\left(\sum_{cyc}P'QRS-\sum_{cyc}P'QRS\right)(1)=0 $
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -