L'isola dei disonesti

[yottovirus]

Ciao raga' girando nei siti ho trovato il seguente problema, non sono riuscito a risolverlo, (o meglio ci sono andato vicino)... ma purtroppo c'è sl il risultato numerico sul sito e nn il procedimento....... aiutatemi.......

http://www.festadellamatematica.bussola ... _testi.pdf

I 5 concorrenti di un noto reality sono naufragati su un'isola. Per procurarsi del cibo, iniziano accumulando in un mucchio tutte le noci di cocco che riescono a raccogliere. Durante la notte uno dei concorrenti decide di prendersi anticipamente la sua parte: divide allora le noci in 5 mucchi uguali, scopre che ne avanza una e la getta alle scimmie, poi nascondende la sua parte e torna a dormire. Dopo un pò si sveglia il secondo concorrente con la stessa idea: divide le noci rimaste in 5 mucchi, scopre che ne avanza una e la getta alle scimmie, poi nasconde la sua parte e torna a dormire. Nel seguito della notte, si svegliano un successione anche i restanti 3 concorrenti, tutti con la stessaidea, e tutti, nel realizzarla, gettano una noce alle scimmie perchè avanza nella divisione.
La mattina successiva i concorrenti, con aria innocente, dividono le noci rimastein 5 mucchi uguali, e così facendo non ne avanza nessuna.
Determinare quante noci facevano parte come minimo, del mucchio originario.

la risposta si trova a
http://www.festadellamatematica.bussola ... sposte.pdf

[SkZ]

in verita' anche alla fine dell'ultima divisione avanza una noce!

generalmente si scrive in forma algebrica la cosa, che puo' essere posta come
$ $(((((x-1)\frac{4}{5}-1)\frac{4}{5}-1)\frac{4}{5}-1)\frac{4}{5}-1)\frac{4}{5}\ge6$ $
(dato che alla fine dividono per 5 e rimane una noce, alla mattina ci sono almeno 6 noci, ovvero $ ~5k+1 $ noci) ovvero
$ $\left(\frac{4}{5}\right)^5x-\sum_{i=1}^5\left(\frac{4}{5}\right)^i\ge 6$ $


Per corerttezza: nel tuo caso $ ~\ge 5k $

[Marco]

@SkZ: scusa, ma non torna. In questo modo ricavi che c'erano almeno
$ $ 5 + \frac{8404}{5^5} $ noci, vale a dire circa 23 noci e mezza. Il punto è che le noci sono indivisibili, e ad ogni passaggio, il numero di noci scelte deve essere un numero intero.

[yottovirus]

((((5/4x+1)5/4+1)5/4+1)5/4+1)5/4+1=y
(5^5x +2^2 * 11 * 191) /2^10 =y
4 + x = 1024
x = 1024 - 4 =1020
(5^5 * 1020 + 2^2 * 11 * 191)/ 2^10 =y
y = 3121
Oggi ripensandoci ho trovato questa soluzione dove x sta al numero di cocchi prima dell'ultima suddivsione e y al numero iniziale........e mi è venuto il risultato.......è giusto?

(scusate per come ho scritto i passaggi......e che non so ancora usare latex.)

[SkZ]

@SkZ: scusa, ma non torna. In questo modo ricavi che c'erano almeno
$ $ 5 + \frac{8404}{5^5} $ noci, vale a dire circa 23 noci e mezza. Il punto è che le noci sono indivisibili, e ad ogni passaggio, il numero di noci scelte deve essere un numero intero.

avevo messo $ ~\ge 6 $ perche' come detto la mattina ci sono almeno 6 noci, ovvero almeno $ ~5k+1 $ noci.
sostituendo il $ ~\ge 6 $ con $ ~=5k+1 $ ricavi
$ $x=\frac{5^6}{4^5}(k+1)-4$ $ e dato che x e' intero allora $ ~(k+1)=1024n $
quindi $ $x=5^6n-4$ $

edit:
considerando la disuguaglianza di partenza, ottineni che $ ~x\ge 26.5 $, fatto poco utile, ma vero.

[Cammy87]

Oh!! Quanti ricordi!! Paginate di congruenze modulo 5 durante una vecchia coppa Fermat , quando si faceva molto meglio così!

P.S. La soluzione è nel terzultimo e penultimo post della pagina linkata, prima si parla di altri problemi della gara.