Trovare tutti gli interi positivi (x,y) tali che:
$ x^3+16=y^2 $
Buon lavoro!
x^3+16=y^2
Ci provo...
Allora riscrivo innanzitutto come $ x^3=y^2-16 \Longrightarrow x^3=(y-4)(y+4) $. Adesso poichè il primo fattore è sempre minore del secondo, esso può assumere solo i valori 1 o $ x $ mentre il secondo rispettivamente i valori $ x^3 $ e $ x^2 $
Nel primo caso si ha che $ y=5 $ da cui si ottiene che $ x=\sqrt[3]9 $, non accettabile.
Nel secondo caso, si ha che $ x=y-4 $ (da cui si ricava la condizione $ y > 4 $) e $ x^2=y+4 $. Uguagliando le due equazioni si arriva a $ x^2-x-8=0 $ che non ha soluzioni intere.
Quindi l'equazione non ha soluzioni intere positive.
Allora riscrivo innanzitutto come $ x^3=y^2-16 \Longrightarrow x^3=(y-4)(y+4) $. Adesso poichè il primo fattore è sempre minore del secondo, esso può assumere solo i valori 1 o $ x $ mentre il secondo rispettivamente i valori $ x^3 $ e $ x^2 $
Nel primo caso si ha che $ y=5 $ da cui si ottiene che $ x=\sqrt[3]9 $, non accettabile.
Nel secondo caso, si ha che $ x=y-4 $ (da cui si ricava la condizione $ y > 4 $) e $ x^2=y+4 $. Uguagliando le due equazioni si arriva a $ x^2-x-8=0 $ che non ha soluzioni intere.
Quindi l'equazione non ha soluzioni intere positive.
Infatti x può non essere un primo... lui ha escluso solo il caso x primo...Sherlock ha scritto:Una domanda: mettiamo caso che x non sia un primo, non potrebbe essere la prima parentesi $ \sqrt (x) $ o qualsiasi altro suo divisore? O per lo meno bisognerebbe dire il motivo per cui non può esserlo...
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pi_greco_quadro
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hint:
Beh un approccio è questo: allora innanzitutto MCD(y+4, y-4)=MCD(y-4,8 )=8, quindi se esiste un divisore comune ai due fattori, esso sarà sicuramente un divisore di 8. A questo punto cominci a enumerare i vari casi e valutare a quali conseguenze essi portano. Se ti vuoi semplificare un po' la vita puoi inoltre fare la sostituzione y'=y+4 ad esempio
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"Ti credevo uno stortone.. e pure vecchio.. (Lei)"
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x e y hanno necessariamente la stessa parità.
$ x^3=y^2-16=(y-4)(y+4) $
se $ y=2k $ con $ k \in \mathbb{N} $ allora
$ x^3=2(k-2)(k+2) $. Se k fosse dispari, x^3 conterrebbe un solo fattore 2, impossibile. Allora $ k=2n $, con $ n \in \mathbb{N} $, dunque
$ x^3=4(n-1)(n+1) $. n deve essere dispari ora, altrimenti x^3 conterrebbe un solo fattore 4. Sia pertanto $ n=2m+1 $ con $ m \in \mathbb{N}_0 $ e quindi $ x^3=8m(m+1) $ ma essendo m ed m+1 coprimi dovrebbero essere entrambi cubi perfetti, impossibile
Allora y è dispari.
Da $ x^3=(y-4)(y+4) $ segue che y-4 e y+4 sono coprimi, poichè possono condividere un fattore 2, un fattore 4 o un fattore 8, ma se y è dispari y-4 e y+4 sono dispari e quindi non condividono alcun fattore. Allora devono essere entrambi cubi perfetti, quindi
$ y-4=m^3 $
$ y+4=n^3 $
con $ m,n \in \mathbb{N} $
da cui $ 8=n^3-m^3=(n-m)(n^2+mn+m^2) $ e quindi si fanno un po' di casi e si vede che non c'è soluzione (credo)
$ x^3=y^2-16=(y-4)(y+4) $
se $ y=2k $ con $ k \in \mathbb{N} $ allora
$ x^3=2(k-2)(k+2) $. Se k fosse dispari, x^3 conterrebbe un solo fattore 2, impossibile. Allora $ k=2n $, con $ n \in \mathbb{N} $, dunque
$ x^3=4(n-1)(n+1) $. n deve essere dispari ora, altrimenti x^3 conterrebbe un solo fattore 4. Sia pertanto $ n=2m+1 $ con $ m \in \mathbb{N}_0 $ e quindi $ x^3=8m(m+1) $ ma essendo m ed m+1 coprimi dovrebbero essere entrambi cubi perfetti, impossibile
Allora y è dispari.
Da $ x^3=(y-4)(y+4) $ segue che y-4 e y+4 sono coprimi, poichè possono condividere un fattore 2, un fattore 4 o un fattore 8, ma se y è dispari y-4 e y+4 sono dispari e quindi non condividono alcun fattore. Allora devono essere entrambi cubi perfetti, quindi
$ y-4=m^3 $
$ y+4=n^3 $
con $ m,n \in \mathbb{N} $
da cui $ 8=n^3-m^3=(n-m)(n^2+mn+m^2) $ e quindi si fanno un po' di casi e si vede che non c'è soluzione (credo)
L'equazione proposta non ha soluzioni. Per dimostrarlo l'approccio di hydro sembra buono -anche se un po' lungo- quindi continuo su quello e provo a risolvere così:
$ x^3+16=y^2 \Longrightarrow x^3=y^2-16 \Longrightarrow x^3=(y-4)(y+4) $,
a questo punto studio separatamente 2 casi.
$ \displaystyle \bullet $ I caso: $ \quad y $ è pari $ \Longrightarrow y=2k $, $ k \in \mathbb{N}^+ $
- $ k $ dispari: $ k=2k'+1, k' \in \mathbb{N}^0 \Longrightarrow x^3=4(2k'-3)(2k'+1) $ che evidentemente non ha soluzioni perché $ 4 $ è un quadrato pari e $ (2k'-3) $ e $ (2k'+1) $ sono dispari e coprimi per cui il prodotto di questi tre termini non darà in alcun caso un cubo perfetto.
- $ k $ pari: $ k=2k'', k'' \in \mathbb{N}^+ \Longrightarrow x^3=4(2k''-2)(2k''+2)=16(k''-1)(k''+1) $ al che faccio distinzioni su $ k'' $:
1)$ \displaystyle k'' $ pari: $ \displaystyle k''=2p, p \in \mathbb{N}^+ \Longrightarrow x^3=16(2p+1)(2p-1) $ che per motivi nuovamente evidenti non può essere ($ 16 $ è un quadrato pari e gli altri due termini non hanno fattori pari);
2)$ \displaystyle k'' $ dispari: $ \displaystyle k''=2q+1, q \in \mathbb{N}^+ $(devo escludere lo $ 0 $ altrimenti la $ x $ si annullerebbe)$ \displaystyle \Longrightarrow x^3=16(2q+1-1)(2q+1+1)= $$ \displaystyle 16(2q)(2q+2)=64q(q+1)=4^3q(q+1) $ ma $ \displaystyle gcd(q, q+1)=1 $ quindi niente da fare tranne che per $ \displaystyle a \in \mathbb{N}^+, b \in {N}^0 $, allora
$ \displaystyle q=a^3 $
$ \displaystyle q+1=b^3 $, quindi
$ \displaystyle a^3+1^3=b^3 $ che per l'ultimo teorema di Fermat non ha soluzioni intere positive per cui dev'essere a forza $ a=0 $ e $ b=1 $ non accettabile perché voglio $ a>0 $.
$ \displaystyle \bullet $ II caso: $ \quad y $ è dispari $ \Longrightarrow y=2j+1, j \in \mathbb{N}^0 $ dunque $ \Longrightarrow x^3=(2j-3)(2j+5) $, ma $ \displaystyle gcd(2j+5, 2j-3)=gcd(2j-3, 2j+5-(2j-3)) $$ \displaystyle=gcd(2j-3,8)=1 $ per cui i loro prodotti non saranno mai un cubo perfetto a meno che entrambi non siano cubi perfetti. Pongo allora, per $ m,n \in \mathbb{N}^0 $:
$ 2j+5=m^3 $
$ 2j-3=n^3 $
sottraggo membro a membro ed ottengo $ 8=m^3-n^3 $ e cioè $ 2^3+n^3=m^3 $ che, come sopra (ultimo teorema di Fermat), non ammette soluzioni intere positive, pertanto unica soluzione è la coppia $ (m, n)=(2, 0) $ per cui ho $ \displaystyle j=\frac{3}{2} $, non accettabile.
$ x^3+16=y^2 \Longrightarrow x^3=y^2-16 \Longrightarrow x^3=(y-4)(y+4) $,
a questo punto studio separatamente 2 casi.
$ \displaystyle \bullet $ I caso: $ \quad y $ è pari $ \Longrightarrow y=2k $, $ k \in \mathbb{N}^+ $
Ti sei perso un fattore $ 2 $ perché $ x^3=(2k-4)(2k+4) \Longrightarrow $$ x^3=2(k-2)2(k+2) \Longrightarrow x^3=4(k-2)(k+2) $ da cui distinguohydro ha scritto:$ x^3=y^2-16=(y-4)(y+4) $
se $ y=2k $ con $ k \in \mathbb{N} $ allora
$ x^3=2(k-2)(k+2) $
- $ k $ dispari: $ k=2k'+1, k' \in \mathbb{N}^0 \Longrightarrow x^3=4(2k'-3)(2k'+1) $ che evidentemente non ha soluzioni perché $ 4 $ è un quadrato pari e $ (2k'-3) $ e $ (2k'+1) $ sono dispari e coprimi per cui il prodotto di questi tre termini non darà in alcun caso un cubo perfetto.
- $ k $ pari: $ k=2k'', k'' \in \mathbb{N}^+ \Longrightarrow x^3=4(2k''-2)(2k''+2)=16(k''-1)(k''+1) $ al che faccio distinzioni su $ k'' $:
1)$ \displaystyle k'' $ pari: $ \displaystyle k''=2p, p \in \mathbb{N}^+ \Longrightarrow x^3=16(2p+1)(2p-1) $ che per motivi nuovamente evidenti non può essere ($ 16 $ è un quadrato pari e gli altri due termini non hanno fattori pari);
2)$ \displaystyle k'' $ dispari: $ \displaystyle k''=2q+1, q \in \mathbb{N}^+ $(devo escludere lo $ 0 $ altrimenti la $ x $ si annullerebbe)$ \displaystyle \Longrightarrow x^3=16(2q+1-1)(2q+1+1)= $$ \displaystyle 16(2q)(2q+2)=64q(q+1)=4^3q(q+1) $ ma $ \displaystyle gcd(q, q+1)=1 $ quindi niente da fare tranne che per $ \displaystyle a \in \mathbb{N}^+, b \in {N}^0 $, allora
$ \displaystyle q=a^3 $
$ \displaystyle q+1=b^3 $, quindi
$ \displaystyle a^3+1^3=b^3 $ che per l'ultimo teorema di Fermat non ha soluzioni intere positive per cui dev'essere a forza $ a=0 $ e $ b=1 $ non accettabile perché voglio $ a>0 $.
$ \displaystyle \bullet $ II caso: $ \quad y $ è dispari $ \Longrightarrow y=2j+1, j \in \mathbb{N}^0 $ dunque $ \Longrightarrow x^3=(2j-3)(2j+5) $, ma $ \displaystyle gcd(2j+5, 2j-3)=gcd(2j-3, 2j+5-(2j-3)) $$ \displaystyle=gcd(2j-3,8)=1 $ per cui i loro prodotti non saranno mai un cubo perfetto a meno che entrambi non siano cubi perfetti. Pongo allora, per $ m,n \in \mathbb{N}^0 $:
$ 2j+5=m^3 $
$ 2j-3=n^3 $
sottraggo membro a membro ed ottengo $ 8=m^3-n^3 $ e cioè $ 2^3+n^3=m^3 $ che, come sopra (ultimo teorema di Fermat), non ammette soluzioni intere positive, pertanto unica soluzione è la coppia $ (m, n)=(2, 0) $ per cui ho $ \displaystyle j=\frac{3}{2} $, non accettabile.
Tu chiamale, se vuoi, emozioni.
