prodotto scalare

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gordio
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Messaggio da gordio » 29 apr 2007, 20:14

Ciao a tutti!

Non so se la mia è una domanda molto sensata, la posto qui in matematica non elementare perchè non so se ci sia o no una risposta:-)

Allora: per ogni scelta di $ a_1, a_2, b_1, b_2 $ tutti appartenenti ai complessi, vorrei trovare funzioni a valori complessi $ c, d $ tali che $ a_1 b_1 + a_2 b_2 =c(a_1,a_2) d(b_1,b_2) $. E se possibile generalizzare al caso $ a_i, b_i,i=1\dots n $
Non so se tutto ciò sia possibile, anzi secondo me non esistono delle funzioni siffatte (non ci ho pensato troppo in realtà).

Ciao!

Vito

fph
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Messaggio da fph » 29 apr 2007, 20:38

Non si fa. Il trucco per dimostrarlo è usare la legge di annullamento del prodotto e accorgersi che quando il membro di destra fa 0, fa 0 "troppo spesso".
Prendi per esempio $ a_1=a_2=b_1=1 $, $ b_2=-1 $. Il prodotto fa 0, quindi se esistessero le due funzioni dovrebbe essere $ c(1,1)d(1,-1)=0 $, quindi uno dei due fattori è nullo. Ma se il primo fattore è nullo allora $ b_1+b_2=c(1,1)d(b_1,b_2)=0 $ per tutti i valori di $ b_1, b_2 $, cosa che è chiaramente falsa, e se il secondo è nullo allora analogamente si ha $ a_1-a_2=0 $ per tutti i valori di $ a_1,a_2 $.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

gordio
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Messaggio da gordio » 02 mag 2007, 19:43

Ottimo, grazie mille! Una risposta che non lascia adito a dubbi...e vale anche in caratteristica 2 tra l'altro! (e io che speravo in una soluzione sui complessi...)

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