facile ma carinoincentro..
incentro..
sia dato un triangolo ABC. sia L la circonferenza inscritta di centro I e tangente a AC in E e a BC in D. Siano K e L i simmetrici di E e D rispetto a I. Si dimostri che se AC+BC=3AB allora A, B, K, L sono su una stessa circonferenza... facile ma carino
facile ma carino
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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(non ho guardato il link 
)
chiamiamo $ \Gamma' $ il cerchio inscritto e $ \Gamma '' $ quello excritto tangente al lato BC, inoltre $ P: AB \cap \Gamma' $, $ H: CB \cap \Gamma'' $, $ R: AB \cap \Gamma'' $, $ Q: AB \cap \Gamma'' $.
Fatto noto $ AL $ e $ BK $ si incontrano nel punto di Nagel (vedi qui) quindi $ AL $ passa per $ H $
Per la congruenza delle varie tangenti alle due circonferenze abbiamo:
$ 2AQ = AQ + AR = CR + AC + AB + BQ = $$ CH + AC + AB + BH = CB + CA + AB = 4AB $
$ AQ = 2AB $ quindi $ CH = CR = AQ - AB = AB $
Quindi il triangolo ABH è isoscele sulla base AH ed è simile al triangolo isoscele PDB e quindi PD è parallela a AL.
Quindi il punto $ P' $, simmetrico di P rispetto a I, sta su AL.
inoltre $ 180 - \angle LKB = \angle P'KL = \angle P'PL $$ = 90 - \angle PP'L = \angle PAP' = \angle PAL $
e quindi ABKL è ciclico.
)chiamiamo $ \Gamma' $ il cerchio inscritto e $ \Gamma '' $ quello excritto tangente al lato BC, inoltre $ P: AB \cap \Gamma' $, $ H: CB \cap \Gamma'' $, $ R: AB \cap \Gamma'' $, $ Q: AB \cap \Gamma'' $.
Fatto noto $ AL $ e $ BK $ si incontrano nel punto di Nagel (vedi qui) quindi $ AL $ passa per $ H $
Per la congruenza delle varie tangenti alle due circonferenze abbiamo:
$ 2AQ = AQ + AR = CR + AC + AB + BQ = $$ CH + AC + AB + BH = CB + CA + AB = 4AB $
$ AQ = 2AB $ quindi $ CH = CR = AQ - AB = AB $
Quindi il triangolo ABH è isoscele sulla base AH ed è simile al triangolo isoscele PDB e quindi PD è parallela a AL.
Quindi il punto $ P' $, simmetrico di P rispetto a I, sta su AL.
inoltre $ 180 - \angle LKB = \angle P'KL = \angle P'PL $$ = 90 - \angle PP'L = \angle PAP' = \angle PAL $
e quindi ABKL è ciclico.
Ultima modifica di ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ il 23 apr 2007, 16:09, modificato 1 volta in totale.
cmq non sapevo che era di uno shortlist