Tensori?

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Neo85
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Messaggio da Neo85 » 05 mar 2007, 22:40

Iron_Man ha scritto:
Neo85 ha scritto:Ma i tensori in fisica escono naturali.
Prendi il tensore metrico $ g^{ik} $ e vedrai che esce in modo semplice.
Tensore metrico? :shock:
Sono curioso di sapere qual’è questa fisica definizione intuitiva dei tensori
Neo85 ha scritto:Penso che la pretesa in quinta di capire i tensori sia un pochino azzardata.
Probabilmente hai ragione però senza avere una minima idea di cosa sono non potevo sapere quanto fosse azzardato.
Comunque la curiosità è tanta quindi difficile o no io ci provo... :wink:
Ho detto naturale non intuitivo... In relatività speciale il tensore metrico da un senso alla misura dei vettori in quanto non sei in uno spazio euclideo ma sei in uno spazio quadridimensionale e il tensore è una matrice con tutti 0 tranne sulla diagonale dove trovi o 1,1,1,-1 oppure 1,-1,-1,-1.

Questa si chiama segnatura della matrice. In generale se hai tutti 1 hai un prodotto scalare che si dice definito positivo. In passato non esisteva un prodotto scalare fatto così quindi avevano tirato fuori l'artefizio del tempo come coordinata immaginaria... Ma poi con il tempo è caduto in favore del prodotto con $ g_{ik} $.

Ciao Neo

ps: bravo ad avere la curiosità ma con un po' di pazienza arriverai a queste cose. Se ti piacciono fai fisica si fa matematica bella da subito e ti salti la palla di tutti i teoremi di algebra che spasso sono inutili :twisted:
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Messaggio da Marco » 06 mar 2007, 08:47

[OT]
Neo85 ha scritto:Non tocca a noi dominare tutte le maree del mondo, il nostro compito è di fare il possibile per la salvezza degli anni nei quali viviamo, sradicando il male dai campi che conosciamo
... scusate di nuovo, ma ancora una volta non riesco a resistere... questa poi l'ho letta proprio ieri...

Yet it is not our part to master all the tides of the world, but to do what is in us for the succour of those years wherein we are set, uprooting the evil in the fields that we know, so that those who live after may have clean earth to till.
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[/OT]
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Messaggio da Iron_Man » 08 mar 2007, 16:05

EvaristeG ha scritto:B sono le applicazioni bilineari ... purtroppo devo dirti che non centrano nulla con i vettori del piano... anzi, in quel che ho scritto ti faccio vedere come le applicazioni bilineari su R^n siano proprio le matrici nxn.
Ho capito
EvaristeG ha scritto:ad esempio
$ f(v^{(1)}+w,v^{(2)},\ldots,v^{(k)}) $$ =f(v^{(1)},v^{(2)},\ldots,v^{(k)})+f(w,v^{(2)},\ldots,v^{(k)}) $
e allo stesso modo per la moltiplicazione per un numero reale, per ogni coordinata. Gli elementi di questo insieme si chiamano tensori di grado k su R^n.
EvaristeG ha scritto:I tensori di grado k su R^n sono le applicazioni che ad ogni k-upla di vettori associano un numero reale. Ad esempio, un tensore di grado 3 su R^2 sarà una cosa che prende tre vettori del piano (u,v,w) e restituisce un numero reale, di modo che, se f(u,v,w)=a e f(z,v,w)=b (con z un altro vettore del piano), alloraf(u+z,v,w)=a+b.
Non capisco: dall'ultimo post mi sembra di capire che un tensore è una specie di funzione che mi associa univocamente a tre vettori del piano (nell'esempio) un numero reale; mentre prima mi sembrava fossero un insieme di elementi come ad esempio un insieme di vettori (particolari) e che hanno componenti...

è chiedere troppo un esempio numerico; anche a grado basso così non devi tribolare troppo (visto che hai già fatto tanto)

Neo85 ha scritto:Ho detto naturale non intuitivo...
ps: bravo ad avere la curiosità ma con un po' di pazienza arriverai a queste cose. Se ti piacciono fai fisica si fa matematica bella da subito e ti salti la palla di tutti i teoremi di algebra che spasso sono inutili :twisted:
Ok :lol:
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Messaggio da EvaristeG » 08 mar 2007, 17:59

Scusa ... ma nel primo post che citi io dico
"gli elementi di questo insieme si chiamano tensori"
e l'insieme in questione è fatto da funzioni che prendono un po' di vettori e danno un numero reale, quindi un tensore è una cosa che prende un po' di vettori e dà un numero reale.
Ha delle componenti perchè, come ho diffusamente dimostrato, una simile cosa si può scrivere come polinomio rispetto alle componenti dei vettori coinvolti, utilizzando i suoi valori sulla base canonica.

Indichiamo con $ \wedge $ il prodotto vettore in R^3 e con $ \cdot $ il prodotto scalare.
$ f(u,v,w)=(u\wedge v)\cdot w $ è una funzione che prende 3 vettori dello spazio e ci associa un numero reale; tale numero reale, esplicitamente, è dato da $ |u||v||w|\sin(\widehat{u,v})\cos(\widehat{u\wedge v, w}) $
dove $ \widehat{a,b} $ è l'angolo tra i vettori a,b misurato da a verso b.
Ora, verifichiamo che f è un tensore di grado 3 su R^3, ovvero verifichiamo che è lineare in ogni componente:
(i) ovviamente
$ ( (ku)\wedge v)\cdot w=( u\wedge(kv))\cdot w) $$ =(u\wedge v)\cdot (kw)=k((u\wedge v)\cdot w) $
e quindi $ f(ku,v,w)=f(u,kv,w)=f(u,v,kw)=kf(u,v,w) $ per ogni numero reale k.
(ii) inoltre
$ f(u+u',v,w)=((u+u')\wedge v)\cdot w=(u\wedge v+ u'\wedge v)\cdot w $$ =(u\wedge v)\cdot w + (u'\wedge v)\cdot w=f(u,v,w)+f(u',v,w) $
e lo stesso per v; per w è anche più semplice
$ f(u,v,w+w')=(u\wedge v)\cdot (w+w')= $$ (u\wedge v)\cdot w+ (u\wedge v)\cdot w'=f(u,v,w)+f(u,v,w') $.
Quindi f è un tensore (perchè è lineare in ogni componente) di grado 3 (perchè accetta come argomento 3 vettori) su R^3 (perchè ogni vettore dei 3 che le diamo è un vettore di R^3).
Ora, come detto nel mio primo post, consideriamo i vettori
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ($ e_1,e_2,e_3 $ per comodità)
che formano la base canonica di R^3 e consideriamo tutte le possibili terne che hanno loro come elementi (con ripetizione e distinguendo a seconda dell'ordine).
$ (e_1,e_1,e_1), (e_1,e_1,e_2), (e_1,e_1,e_3) $
$ (e_1,e_2,e_1), (e_1,e_2,e_2), (e_1,e_2,e_3) $
$ (e_1,e_3,e_1), (e_1,e_3,e_2), (e_1,e_3,e_3) $

$ (e_2,e_1,e_1), (e_2,e_1,e_2), (e_2,e_1,e_3) $
$ (e_2,e_2,e_1), (e_2,e_2,e_2), (e_2,e_2,e_3) $
$ (e_2,e_3,e_1), (e_2,e_3,e_2), (e_2,e_3,e_3) $

$ (e_3,e_1,e_1), (e_3,e_1,e_2), (e_3,e_1,e_3) $
$ (e_3,e_2,e_1), (e_3,e_2,e_2), (e_3,e_2,e_3) $
$ (e_3,e_3,e_1), (e_3,e_3,e_2), (e_3,e_3,e_3) $

Ora calcoliamo la f in ciascuna di queste terne, ovvero facciamo
$ f(e_1,e_1,e_1), f(e_1,e_1,e_2), f(e_1,e_1,e_3) $ eccetera

(i conti li lascio fare a te) Quel che viene è
$ \begin{array}{rrr}0& 0& 0\\0& 0& 1\\0& -1& 0\end{array} $

$ \begin{array}{rrr}0& 0& -1\\0&0&0\\1& 0& 0\end{array} $

$ \begin{array}{rrr}0& 1& 0\\-1&0& 0\\0&0 &0\end{array} $

Dunque, diciamo che i tre vettori u,v,w si scrivono come
$ u=(u_1,u_2,u_3), v=(v_1,v_2,v_3), w=(w_1,w_2,w_3) $ ovvero
$ u=u_1e_1+ u_2e_2+u_3e_3 $ $ v=v_1e_1+v_2e_2+v_3e_3 $ $ w=w_1e_1+w_2e_2+w_3e_3 $ dove (attento!!) gli e_i sono vettori mentre gli u_i,v_i, w_i sono numeri reali. Allora,
$ f(u,v,w)=f(u_1e_1+ u_2e_2+u_3e_3,v,w)= $(applicando la proprietà (ii) della linearità componente per componente)$ =f(u_1e_1,v,w)+f(u_2e_2,v,w)+f(u_3e_3,v,w)= $(applicando la proprietà (i) )$ =u_1f(e_1,v,w)+u_2f(e_2,v,w)+ u_3f(e_3,v,w) $
Ora, per ciascuno di questi addendi, si utilizza la scrittura di v come $ v_1e_1+v_2e_2+v_3e_3 $ e si ripete il procedimento ora utilizzato; si troverà una somma di 9 termini (io non faccio i conti, ma ti invito a farli):
$ u_1v_1f(e_1,e_1,w)+u_1v_2f(e_1,e_2,w) +u_1v_3f(e_1,e_3,w)+ $ .... (questi sono i termini che vengono da $ u_1f(e_1,v,w) $)
$ +u_2v_1f(e_2,e_1,w)+ u_2v_2f(e_1,e_2,w)+u_2v_3f(e_2,e_3,w)+ $ ... (questi invece vengono da $ u_2f(e_2,v,w) $)
$ +u_3v_1f(e_3,e_1,w)+u_3v_2f(e_3,e_2,w)+u_3v_3f(e_3,e_3,w) $
A questo punto si utilizza la scrittura di w come $ w_1e_1+w_2e_2+w_3e_3 $ e si sviluppa ognuno di questi termini; verrà una somma con 27 addenti, in cui compare la f calcolata in tutte le terne che avevamo scritto prima moltiplicata per i corrispondenti u_i, v_j, w_k; quindi, in forma compatta
$ f(u,v,w)=\displaystyle{\sum_{i,j,k=1}^3u_iv_jw_kf(e_i,e_j,e_k)} $
In questa espressione, sostituiamo i valori della f nelle terne che abbiamo calcolato sopra; molti pezzi saranno 0 e rimarranno solo quelli corrispondenti alle terne (i,j,k) date da (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), lasciandoci scrivere che
$ f(u,v,w)=u_1v_2w_3f(e_1,e_2,e_3)+u_1v_3w_2f(e_1,e_3,e_2)+ $$ u_2v_1w_3f(e_2,e_1,e_3)+u_2v_3w_1f(e_2,e_3,e_1)+ $$ u_3v_1w_2f(e_3,e_1,e_2)+u_3v_2w_1f(e_3,e_2,e_1) $
andando a sostituire i valori (che nel nostro caso sono solo 1 e -1) otterremo
$ f(u,v,w)=u_1v_2w_3-u_1v_3w_2- $$ u_2v_1w_3+u_2v_3w_1+u_3v_1w_2-u_3v_2w_1 $
Questa è la scrittura del tensore f in coordinate rispetto alla base e_1,e_2,e_3 di R^3; in questo modo possiamo associare al tensore f i 27 coefficienti $ f_{ijk}=f(e_i,e_j,e_k) $; nel nostro caso $ f_{ijk}=0 $ se i=j o j=k o k=i, $ f_{ijk}=1 $ se (i,j,k) è una permutazione pari di (1,2,3) e $ f_{ijk}=-1 $ se (i,j,k) è una permutazione dispari di (1,2,3).
Questi 27 coefficienti si chiamano anche componenti del tensore f rispetto alla base canonica e possono essere intesi come una "matrice a 3 dimensioni", un cubo di numeri, che si può moltiplicare per un vettore nella maniera che segue:
indichiamo con <f,a> la moltiplicazione del tensore f per il vettore a che nel caso in cui f sia di grado 2 (una matrice) coincide con il prodotto riga per colonna (deve essere coerente con quella formula che ti avevo dato per le applicazioni bilineari) e quindi diciamo che se f è un tensore di grado k su R^n e a è un vettore di R^n, allora g=<f,a> sarà un tensore di grado k-1 su R^n tale che, se f era individuato rispetto alla base canonica da coefficienti $ f_{i_1,\ldots, i_k} $ , allora g sarà individuato da coefficienti $ g_{i_1,\ldots, i_{k-1}} $ tali che
$ g_{i_1,\ldots, i_{k-1}}=\displaystyle\sum_{j=1}^nf_{i_1,\ldots, i_{k-1},j)a_j $ (dove a_j è la componente j-esima di a).
Nel nostro esempio, se $ a=(a_1,a_2,a_3) $, allora <f,a> sarà un tensore di grado 2 su R^3, quindi una matrice 3x3, che avrà come coefficiente al posto i,j la somma
$ \displaystyle\sum_{k=1}^3f_{i,j,k}a_k $
ovvero questa matrice sarà fatta così (fai i conti e verifica!!)
$ g=<f,a>=\left(\begin{array}{ccc}0 & a_3 & -a_2\\-a_3 & 0 & a_1\\a_2 & -a_1&0\end{array}\right) $
A questo punto ti lascio da verificare che, se B è una matrice e b è un vettore <B,b> come l'abbiamo definito (intendento B_{ij} come l'el di posto i,j in B) è il prodotto riga per colonna Bb e che se a,b sono due vettori <a,b> è il prodotto scalare tra loro.
Indichiamo con <f,v;w>=<<f,v>,w> e quindi in generale $ <f,v_1;v_2;\ldots;v_p>=<\ldots<<f,v_1>,v_2>\ldots,v_p> $. Allora si avrà che, se f è un tensore di grado k,
$ f(v_1,\ldots,v_k)=<f,v_k;v_{k-1};\ldots;v_1> $ (attenzione, sono ordinati al contrario!!).
(tanti conti).
Quindi, più implicitamente, il tensore di grado k-1 g=<f,v> è quel tensore che prende k-1 vettori $ u_1,\ldots, u_k $ e ci associa il numero reale $ f(u_1,\ldots, u_{k-1}, v) $.

Ritornando al nostro esempio, g=<f,a> è una matrice, quindi è una applicazione bilineare, quindi ad ogni due vettori associa un numero; è facile vedere con la formula che ti ho dato nel primo post, che
$ g(v,w)=f(v,w,a)=(v\wedge w)\cdot a $.
Inoltre, se ora facciamo h=<g,b>, otterremo un tensore di grado 1, ovvero un vettore, che avrà come componente i-esima la somma
$ \displaystyle\sum_{j=1}^3g_{i,j}b_j $ ovvero, come detto prima, valr proprio h=gb con il prodotto riga per colonna; svolgendo i conti
$ h=(b_2a_3-b_3a_2, -b_1a_3+b_3a_1, b_1a_2-b_2a_1) $
e infine, considerando un terzo vettore c, il tensore di grado 0 <h,c> non sarà altro che il prodotto scalare di h e c e sarà
$ c_1b_2a_3-c_1b_3a_2 -c_2b_1a_3+c_2b_3a_1+ c_3b_1a_2-c_3b_2a_1 $
Ora ti dovrebbe essere facile verificare che questo è proprio f(c,b,a) con la formula data sopra (con gli u_i, v_j, w_k che diventeranno rispettivamente c_i,b_j,a_k).

Ecco, non volevo parlare della contrazione di un vettore con un tensore, ma ormai è fatta ... pazienza. Spero solo che tu ci abbia capito qualcosa.

PS : non è un caso che f(u,v,w) sia il determinante della matrice che ha per colonne u,v,w; infatti il determinante di una matrice nxn è un tensore di grado n su R^n che alle sue n colonne viste come vettori (o alle sue n righe viste come n vettori) associa un numero reale, in maniera da essere lineare in ogni componente (cioè in ogni colonna o riga).

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Messaggio da Iron_Man » 07 mag 2007, 20:39

mi accorgo solo ora che non ti ho ancora rigngarziato per tutto il da fare che ti sei dato per me....
quindi grazie :oops: (meglio tardi che mai)

ho capito abbastanza...non pretendo tutto però... non ho poi trovato una vera e propria applicazione, quindi per adesso continuerò a vedere i tensori come un virtuosismo matematico

P.S. spero di non aver detto stupidaggini :shock:
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Messaggio da hydro » 10 mag 2007, 15:09

Premetto di non avere alcuna conoscenza sui tensori, a parte quello che ho letto in questo topic, quindi perdonatemi se dico delle bestialità, ma mi stavo domandando questa cosa:
Nello studio delle ipersuperfici quadriche negli spazi proiettivi o affini, si sfrutta il fatto che una matrice simmetrica nxn a elementi in K definisce una forma bilineare simmetrica da $ K^n $x$ K^n \rightarrow K $, dove K è un campo. Ad ogni forma bilineare simmetrica si può associare un forma quadratica che definisce un luogo di punti di $ \mathbb {P}^n $ che sono gli zeri di un polinomio omogeneo di secondo grado. Ora, è possibile generalizzare questo fatto ai tensori di grado 3, in qualche modo "simmetrici" (se ha senso questa cosa), ovvero è possibile in qualche modo che questi ultimi rappresentino il luogo degli zeri di un polinomio omogeneo di terzo grado, e definiscano quindi un "superficie di grado 3"?

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Messaggio da EvaristeG » 14 mag 2007, 07:25

hydro, se rileggi il primo post in cui dico qualcosa dei tensori, vedrai che li definisco come le funzioni multilineari da R^n a R. Subito dopo scrivo che tutte quelle funzioni sono sommatorie di cose del tipo
$ (a^{(1)}_{i_1}\cdot \ldots\cdo a^{(k)}_{i_k})m_{i_1,\ldots,i_k} $
dove gli $ a^{(j)}_{i_j} $ sono elementi dei vettoi $ a^{(j)} $.
Tu puoi considerare allora, come per le forme quadratiche, l'insieme di quei vettori che annullano il tensore, nel senso che
$ f(v,\ldots, v)=0 $
In questo caso, se chiami $ x_1,\ldots,x_n $ le entrate del vettore v, hai che l'espressione di prima diventa un polinomio omogeneo di grado k in queste variabili e che per ogni tal polinomio puoi trovare un tensore che lo realizza.
Detto in altri termini, un tensore è
$ f:(\mathbb{R}^n)^k\to\mathbb{R} $
un polinomio omogeneo (credo che da qualche parte si possa trovare forma omogenea di grado k, ma fa un po' di confusione) è la restrizione di f all'insieme
$ \{(v,\ldots, v)\vert v\in\mathbb{R^n}\} $
che è isomorfo a R^n. Dunque il luogo di zeri definisce un cono algebrico in R^n o se preferisci una varietà algebrica in P^{n-1}(R).
Spero di averti risposto.

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