a^{2n-1}|b^{2n}, b^{2n}|a^{2n+1} --->a=b

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
salva90
Messaggi: 1314
Iscritto il: 19 ott 2006, 18:54
Località: Carrara

a^{2n-1}|b^{2n}, b^{2n}|a^{2n+1} --->a=b

Messaggio da salva90 »

Si dimostri che se $ a^{2n-1}|b^{2n} $ e $ b^{2n}|a^{2n+1} \forall n \in \mathbb{N} $ allora $ a=b $


quite easy direi, anzi moooolto facile... vietato agli esperti :D
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]
Zok
Messaggi: 140
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Cambridge - Verona

Messaggio da Zok »

Si può dimostrare per induzione su n.
Le due ipotesi si possono riscrivere come $ b^{2n}=k_n \cdot a^{2n-1} $ e $ a^{2n+1}=j_n \cdot b^{2n} \ \ \forall n \in \mathbb{N} $ (con $ j_n,k_n \in \mathbb{N} $).

La tesi $ a=b \ \ \forall n \in \mathbb{N} $ è equivalente alla tesi $ k_n=a \ \forall n \in \mathbb{N} $ (o equivalentemente $ j_n=a $ visto che $ j_n \cdot k_n=a^2 \ \forall n \in \mathbb{N} $).

Passo base
Se $ $ n=0 $ allora si ha che: $ k_0 \cdot a^{-1}=b^0 $ da cui $ k_0=a $ e quindi $ a=b $.

Passo induttivo (se $ k_n=a $ dimostro che anche $ k_{n+1}=a $)
Se $ k_n=a $ allora $ k_n \cdot a^{2n-1}=a^{2n} \Rightarrow a^2 \cdot k_n \cdot a^{2n-1}=a^{2n+2} \Rightarrow k_n \cdot a^{2(n+1)-1}=b^{2(n+1)} $.
Ma per ipotesi $ k_{n+1} \cdot a^{2(n+1)-1}=b^{2(n+1)} \Rightarrow k_{n+1}=k_n=a $.

Quindi $ k_n=a\ \ \forall n \in \mathbb{N} $ e dunque $ a=b \ \ \forall n \in \mathbb{N} $
Avatar utente
Boll
Messaggi: 1076
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Boll »

E' molto più semplice...

$ $ \frac{b^{2n}}{a^{2n-1}}=I $
$ $ \frac{a^{2n+1}}{b^{2n}}=J $

quindi
$ $ IJ=a^2 $

ora supponiamo
$ $ I<a $

quindi

$ $ J>a $
da cui si ricava

$ $ \frac{b^{2n}}{a^{2n-1}}<a \Longleftrightarrow b<a $

ma anche

$ $ \frac{a^{2n+1}}{b^{2n}}>a \Longleftrightarrow a<b $
Quindi assurdo!

Si arriva ad un assurdo analogo anche supponendo $ I>a $, quindi $ I=J=a $ da cui la tesi.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Avatar utente
salva90
Messaggi: 1314
Iscritto il: 19 ott 2006, 18:54
Località: Carrara

Messaggio da salva90 »

Mi sembra che la soluzione di Boll sia la migliore... la mia era molto simile ma più bruttina... praticamente scomponevo in fattori primi ed applicavo lo stesso ragionamento ad un solo primo anzichè a dei numeri generici...
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]
Bertolo
Messaggi: 12
Iscritto il: 22 apr 2006, 08:04

Messaggio da Bertolo »

Ulteriore soluzione, forse un po' banale, ma mi sembra corretta:

Se a^(2n-1) | b^(2n) allora anche a | b^(2n).

Quindi, e qui è forse l'unico punto difficile, o a | b o a = b^k per qualche k appartenente a n.

Supponiamo che a = b^k e sostituiamo nella prima:

b^(k(2n-1)) | b^(2n)

Ciò è vero se k(2n-1) =< 2n ovvero k =< 2n/(2n-1)

Ma 2n/(2n-1) per n naturale è <2, ciò significa che dalla prima condizione deduciamo che a | b.

Analogamente con la seconda concludiamo che b | a.

Quindi abbiamo che a | b e b | a, perciò possiamo concludere che a=b...
Avatar utente
Sisifo
Messaggi: 604
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Scorzè (VE)/Pisa

Messaggio da Sisifo »

Bertolo ha scritto:a | b^(2n).

Quindi, e qui è forse l'unico punto difficile, o a | b o a = b^k per qualche k appartenente a n.
Hmm.. mi spiace contraddirti, ma questo è vero solo per b primo.. prendi a=18, b=6^2 e vedi che è palesemente falso..
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
Rispondi