WC 07 TST A2

[enomis_costa88]

Per ogni intero positivo n, poniamo
$ a_n=\frac 1n\left(\left[\frac n1\right]+\left[\frac n2\right]+\ldots+\left[\frac nn\right]\right) $
dove le parentesi quadre indicano la parte intera.

(a) dimostrare che esistono infiniti valori di n per cui $ a_{n+1}>a_n $
(b) dimostrare che esistono infiniti valori di n per cui $ a_{n+1}<a_n $

Buon lavoro, ciao! (lo so che siamo monotoni)
Enomis, Decan, Post233, Piever, Il_Russo

[fph]

(a) dimostrare che esistono infiniti valori di n per cui $ a_{n+1}>a_n $
(b) dimostrare che esistono infiniti valori di n per cui $ a_{n+1}<a_n $
Buon lavoro, ciao! (lo so che siamo monotoni)

il gioco di parole... era involontario?

[julio14]

Allora, io ci provo.
m(n)=([n/1]+[n/2]+...+[n/n])
m(n+1)-m(n)=k dove k è il numero dei divisori di n+1 infatti ogni singola quadra sarà uguale per n e per n+1, tranne quando il denominatore|n+1, in quel caso la quadra di n+1 è maggiore di 1 della quadra di n. So che è una dimostrazione un po' empirica, ma credo sia giusta.
A questo punto a(n)=m(n)/n a(n+1)=(m(n)+k)/(n+1).
Dimostro la prima tesi.
(m(n)+k)/(n+1)>m(n)/n
nk>m(n)
Questa disuguaglianza è sempre vera per tutti i valori di n+1 che massimizzano il numero dei divisori fino a n+1, cioè quando ogni x<n+1 ha un numero di divisori inferiori a k, infatti m(n) è la somma dei numeri dei divisori di ogni x<n+1. Ora la seconda tesi.
nk<m(n) è verificato da n+1 primo e n>4, infatti diventa 2n<m(n) che è sempre vera per n>4.

Tutti i messaggi scritti dopo sono perchè non avevo disbilitato l'HTML, purtroppo ormai non posso più cancellarli.

[EvaristeG]

Allora, clicca su "Disablita HTML nel messaggio" prima di postarlo e cancella tutti sti messaggi, lasciandone uno solo in cui scrivi il pezzo che manca.

[julio14]

Ho corretto il primo, ma non posso cancellare gli altri credo perchè ci sono già delle risposte. Comunque grazie a evariste e a SkZ

[EvaristeG]

Li ho cancellati io.