ripariamo:
sia $ ~q(x)=\sum_0^n_i b_ix^i \quad p(x)=x^2+a_1x+a_0 $
$ \dispalystyle p(x)q(x)=b_nx^{n+2}+(b_na_1+b_{n-1})x^{n+1}+ $ $ \dispalystyle \sum_2^n_i (b_ia_0+b_{i-1}a_1+b_{i-2})x^i+(a_0b_1+a_1b_0)x +a_0b_0 $
Abbiamo n+3 coefficienti e n+3 equazioni, quindi il sistema e' sempre univocamente determinato. Quindi per ognuna delle $ ~2^{n+2} $ configurazioni diverse abbiamo una soluzione se esiste
Come sopra $ ~b_n, a_0,b_0\in I=\{-1,1\} $. Con un rapido controllo si puo' vedere che si puo' prendere $ ~b_n=1 $ senza perdere in generalita' (quindi prenderlo monico non era stato un errore
), ovvero p(x) puo' anche non essere monico, in tal caso $ ~a_2\in I $.
Permettetemi qualche abbreviazione nelle formule, anche se non troppo corrette formalmente (ad es. i $ ~\pm $ hanno ognuno "vita" a se stante)
Posto $ ~B_0=I=\{-1,1\} $
per $ ~n=0 $, allora $ ~b_0,a_0, a_1\in B_0 $
per $ ~n=1 $, allora $ ~b_0,b_1,a_0\in B_0 $; $ ~a_1\in B_0\oplus B_0=\{-2,0,2\} $, ma va bene solo $ ~a_1=0 $
per $ ~n=2 $, non funzia (se prima non ho fatto errori)
per $ ~n=3 $, wip(*)
per $ ~n\ge 4 $ abbiamo che
$ ~b_i\pm a_1b_{i-1}\pm b_{i-2}\in I $ ovvero $ ~b_{i-2}+ a_1b_{i-1}\pm b_i \in I $
$ ~b_0,b_n\in B_0 $; $ ~ b_1,b_{n-1}\in B_1=a_1B_0\oplus B_0=\{\pm a_1\pm 1\} $; $ ~b_k,b_{n-k}\in B_k=a_1B_{k-1}\oplus B_{k-2}\oplus I,\;k\in [2;\lfloor\frac{n}{2}\rfloor] $
per ora cio'. un attimo e vediamo quando n va bene
NB: editato varie volte per correggere e migliorare
(*) work in progress
