Geometria koreana (TST)
Sia $ ABC $ un triangolo, e sia $ \gamma $ il suo incerchio di centro $ I $. Diciamo che $ \gamma $ tocchi i lati $ BC,CA,AB $ in $ D,E,F $ rispettivamente. Sia $ P $ il punto d'intersezione fra $ AD $ e $ \gamma $ distinto da $ D $, e sia inoltre $ K $ il simmetrico di $ D $ rispetto ad $ I $. Chiamiamo $ Q $ l'intersezione fra $ PK $ e $ EF $. Infine, chiamiamo $ X,Y $ le intersezioni di $ DE $ e $ DF $ con $ QA $.
Dimostrare che $ AX=AY $.
Ma quant'è fica la koreana!!! (la geometria, intendo...)
Uau, ma che carina!
Sia L l'intersezione tra DI e la parallela a BC per A.
Avremo che $ ~ \angle ALK = 90° $, ma anche $ ~ \angle APK = 180° - \angle KPD = 90° $, quindi ALKP è ciclico.
$ ~\angle ILA = 90° $, ma anche $ ~ \angle IFA = \angle IEA = 90° $ per ipotesi, quindi EFLA è ciclico.
Che FKPE è ciclico lo sappiamo già. Disegnamo le circonferenze circoscritte a questi quadrilateri... e vien fuori che FE, KP, LA sono i loro assi radicali e quindi concorrono in Q!
Ora che sappiamo che QA è parallela a BC, è facile. Usiamo ripetutamente il fatto che le due tangenti da un punto a una circonferenza sono uguali.
Per il parallelismo, YAF è simile a FBD, che è isoscele, quindi AY = AF. Allo stesso modo, AX = AE. Ma AE = AF, quindi AY = AX. $ ~ \square $
Sia L l'intersezione tra DI e la parallela a BC per A.
Avremo che $ ~ \angle ALK = 90° $, ma anche $ ~ \angle APK = 180° - \angle KPD = 90° $, quindi ALKP è ciclico.
$ ~\angle ILA = 90° $, ma anche $ ~ \angle IFA = \angle IEA = 90° $ per ipotesi, quindi EFLA è ciclico.
Che FKPE è ciclico lo sappiamo già. Disegnamo le circonferenze circoscritte a questi quadrilateri... e vien fuori che FE, KP, LA sono i loro assi radicali e quindi concorrono in Q!
Ora che sappiamo che QA è parallela a BC, è facile. Usiamo ripetutamente il fatto che le due tangenti da un punto a una circonferenza sono uguali.
Per il parallelismo, YAF è simile a FBD, che è isoscele, quindi AY = AF. Allo stesso modo, AX = AE. Ma AE = AF, quindi AY = AX. $ ~ \square $
ahi ahi edriv, a che ti serve saperlo? non vorrai mica sbirciare la soluzione...edriv ha scritto:btw, dove hai trovato il testo? Su mathlinks e kalva non c'è.
a parte gli scherzi, non so se sia in rete, io l'ho trovato insieme alla metà centro-meridionale dell'imo-team in viaggio di ritorno, sul libretto che la korea (molte squadre lo fanno) ha distribuito ai vari leader.
ps
si scrive D'OH, non DOUGH
