Date due parabole con assi ortogonali (l'una ottenuta dall'altra tramite traslazione, riscalatura degli assi a piacere e rotazione di 90°) che si intersecano in 4 punti distinti, mostrare che questi 4 punti sono conciclici.
Come suggerisce il titolo, si richiede di trovare una soluzione che usi la geometria analitica, magari esplicitando centro e raggio della circonferenza in funzione della traslazione effettuata e della riscalatura degli assi (intendo x'=ax, y'=by).
Nota folkloristica : il problema è ben noto, ma la soluzione cartesiana ha fulminato me e elianto84 al ritorno da una cena al ristorante cinese, da cui il titolo.
Nota rassicurante : non ci sono conti brutti da fare.
Parabole fritte con coordinate agrodolci
Nel fascio di coniche determinato dalle due parabole
esiste una circonferenza che ovviamente passa per i
punti base del fascio che sono poi le intersezioni delle
due parabole.E cio' prova la tesi.Particolarizzando in modo
opportuno le equazioni delle 2 parabole e' possibile
stabilire le condizioni per l'esistenza di tale circonferenza
e ricavare centro e raggio della stessa .
Leandro
esiste una circonferenza che ovviamente passa per i
punti base del fascio che sono poi le intersezioni delle
due parabole.E cio' prova la tesi.Particolarizzando in modo
opportuno le equazioni delle 2 parabole e' possibile
stabilire le condizioni per l'esistenza di tale circonferenza
e ricavare centro e raggio della stessa .
Leandro
E che ci vuole ,non l'ho scritto per dar modo ad altri di postarlo
anche se,a parer mio, il quesito non chiede di trovare esplicitamente
l'equazione della circonferenza ma piuttosto di provare la conciclicita'
delle 4 intersezioni delle 2 parabole.
Ma poiche' s'insiste...
Assumendo come assi coordinati ( di un riferimento cartesiano
nel piano delle due parabole) proprio gli assi delle medesime,le
loro equazioni saranno del tipo:
$ $ax^2+by+c=0,a'y^2+b'x+c'=0 $
Il fascio di coniche potra' scriversi nella forma:
$ $\lambda(ax^2+by+c)+\mu(a'y^2+b'x+c')=0 $
e la circonferenza del fascio si otterra' imponendo la condizione
$ $\lambda a=\mu a' $
Con cio' l'equazione della circonferenza e':
$ $x^2+y^2+\frac{b'}{a'}x+\frac{b}{a}y+(\frac{c}{a}+\frac{c'}{a'})=0 $
Questa circonf. contiene,come tutte le coniche del fascio, i 4 punti nei
quali per ipotesi s'intersecano le 2 parabole.
Leandro
anche se,a parer mio, il quesito non chiede di trovare esplicitamente
l'equazione della circonferenza ma piuttosto di provare la conciclicita'
delle 4 intersezioni delle 2 parabole.
Ma poiche' s'insiste...
Assumendo come assi coordinati ( di un riferimento cartesiano
nel piano delle due parabole) proprio gli assi delle medesime,le
loro equazioni saranno del tipo:
$ $ax^2+by+c=0,a'y^2+b'x+c'=0 $
Il fascio di coniche potra' scriversi nella forma:
$ $\lambda(ax^2+by+c)+\mu(a'y^2+b'x+c')=0 $
e la circonferenza del fascio si otterra' imponendo la condizione
$ $\lambda a=\mu a' $
Con cio' l'equazione della circonferenza e':
$ $x^2+y^2+\frac{b'}{a'}x+\frac{b}{a}y+(\frac{c}{a}+\frac{c'}{a'})=0 $
Questa circonf. contiene,come tutte le coniche del fascio, i 4 punti nei
quali per ipotesi s'intersecano le 2 parabole.
Leandro
La mia soluzione era molto simile, comunque la posto lo stesso.
Le due parabole possono essere scritte come:
$ x^2=ax+by+c $
$ y^2=a'y+b'x+c' $
sommando membro a membro si ottiene l'equazione della circonferenza:
$ $x^2+y^2-(a+a')x-(b+b')y-c-c'=0 $
che evidentemente interseca entrambe le parabole nei quattro punti comuni (se ci sono 4 soluzioni reali), da cui la tesi...
ciao
Le due parabole possono essere scritte come:
$ x^2=ax+by+c $
$ y^2=a'y+b'x+c' $
sommando membro a membro si ottiene l'equazione della circonferenza:
$ $x^2+y^2-(a+a')x-(b+b')y-c-c'=0 $
che evidentemente interseca entrambe le parabole nei quattro punti comuni (se ci sono 4 soluzioni reali), da cui la tesi...
ciao
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
Direi che ci siamo ... ora due parole su quella che può sembrare una cosa estremamente banale o estremamente truccosa, a seconda di come si è abituati a ragionare.
Fatto algebrico ovvio
Consideriamo due "luoghi" (o "curve" se preferite) che siano descritti da $ p(x,y)=0 $ e $ q(x,y)=0 $ nel piano cartesiano. Allora il luogo (o curva) descritto dall'equazione $ \lambda p(x,y)+\mu q(x,y)=0 $ con $ (\lambda,\mu)\neq(0,0) $ contiene l'intersezione dei due precedenti.
Esempio banale e ben noto
Date due circonferenze di equazioni
$ \{p(x,y)=0\}=\{x^2+y^2+\alpha x+\beta y + \gamma=0\} $
$ \{q(x,y)=0\}=\{x^2+y^2+\alpha'x+\beta'y+\gamma'=0\} $
i loro eventuali punti di intersezione stanno sulla retta
$ \{p(x,y)-q(x,y)=0\}=\{x(\alpha-\alpha')+y(\beta-\beta')+\gamma-\gamma'=0\} $
che è di solito nota come asse radicale delle due circonferenze.
Il problema in oggetto
Date due parabole con assi ortogonali
$ y=ax^2+bx+c $ (p(x,y)=0)
$ x=dy^2+ey+f $ (q(x,y)=0)
i loro eventuali punti di intersezione stanno sulla circonferenza
$ dp(x,y)+aq(x,y)=0 $
ovvero
$ da(x^2+y^2)+(db-a)x+(ae-d)y+dc+af=0 $
Altre applicazioni
1. Supponiamo di avere date due ellissi di cui l'una è immagine dell'altra tramite un'omotetia. Trovare, data l'equazione di una delle due ellissi, le coordinate del centro dell'omotetia e il suo fattore, le coordinate dei punti di intersezione, descrivendole come intersezione tra una ellisse e una retta.
2. Date una parabola ed una ellisse un cui asse sia parallelo alla direttrice della parabola, le loro eventuali intersezioni giacciono sempre su una circonferenza.
Commento finale
Questo tipo di ragionamenti "algebrici", ovvero riguardanti i polinomi e i loro zeri, piuttosto che le proprietà geometriche dei luoghi che i loro zeri descrivono, è assai utile quando si vuole imboccare la strada delle coordinate cartesiane. Con il tempo, osservazioni quali quella utilizzata diventano ovvie e scontate, come paiono esserlo per Leandro e BMcKmas, ma non è sempre banale lasciarsi completamente alle spalle il setting geometrico del problema e ragionare solo sulle caratteristiche algebriche della sua trascrizione in coordinate cartesiane. Come ogni cosa, tutto ciò va preso con le molle : non sempre un simile approccio è utile, ma a volte è fondamentale nel risparmiare paginate di angoli oppure nell'evitare la necessità di idee furbe o conoscenze avanzate (come nel caso presente).
Fatto algebrico ovvio
Consideriamo due "luoghi" (o "curve" se preferite) che siano descritti da $ p(x,y)=0 $ e $ q(x,y)=0 $ nel piano cartesiano. Allora il luogo (o curva) descritto dall'equazione $ \lambda p(x,y)+\mu q(x,y)=0 $ con $ (\lambda,\mu)\neq(0,0) $ contiene l'intersezione dei due precedenti.
Esempio banale e ben noto
Date due circonferenze di equazioni
$ \{p(x,y)=0\}=\{x^2+y^2+\alpha x+\beta y + \gamma=0\} $
$ \{q(x,y)=0\}=\{x^2+y^2+\alpha'x+\beta'y+\gamma'=0\} $
i loro eventuali punti di intersezione stanno sulla retta
$ \{p(x,y)-q(x,y)=0\}=\{x(\alpha-\alpha')+y(\beta-\beta')+\gamma-\gamma'=0\} $
che è di solito nota come asse radicale delle due circonferenze.
Il problema in oggetto
Date due parabole con assi ortogonali
$ y=ax^2+bx+c $ (p(x,y)=0)
$ x=dy^2+ey+f $ (q(x,y)=0)
i loro eventuali punti di intersezione stanno sulla circonferenza
$ dp(x,y)+aq(x,y)=0 $
ovvero
$ da(x^2+y^2)+(db-a)x+(ae-d)y+dc+af=0 $
Altre applicazioni
1. Supponiamo di avere date due ellissi di cui l'una è immagine dell'altra tramite un'omotetia. Trovare, data l'equazione di una delle due ellissi, le coordinate del centro dell'omotetia e il suo fattore, le coordinate dei punti di intersezione, descrivendole come intersezione tra una ellisse e una retta.
2. Date una parabola ed una ellisse un cui asse sia parallelo alla direttrice della parabola, le loro eventuali intersezioni giacciono sempre su una circonferenza.
Commento finale
Questo tipo di ragionamenti "algebrici", ovvero riguardanti i polinomi e i loro zeri, piuttosto che le proprietà geometriche dei luoghi che i loro zeri descrivono, è assai utile quando si vuole imboccare la strada delle coordinate cartesiane. Con il tempo, osservazioni quali quella utilizzata diventano ovvie e scontate, come paiono esserlo per Leandro e BMcKmas, ma non è sempre banale lasciarsi completamente alle spalle il setting geometrico del problema e ragionare solo sulle caratteristiche algebriche della sua trascrizione in coordinate cartesiane. Come ogni cosa, tutto ciò va preso con le molle : non sempre un simile approccio è utile, ma a volte è fondamentale nel risparmiare paginate di angoli oppure nell'evitare la necessità di idee furbe o conoscenze avanzate (come nel caso presente).
A margine di questo topic vorrei aggiugere anch'io qualche
ulteriore considerazione.Mi sono chiesto se esistesse poi una
condizione particolare che garantisse la presenza di una
circonferenza in un fascio di coniche.
Leggicchiando qua e là ho trovato una regola che mi e' parsa
molto carina:
Condizione necessaria e sufficiente perche' di un fascio di coniche
faccia parte una circonferenza e' che il luogo dei centri delle coniche
del fascio sia una iperbole equilatera.
La dimostrazione di tale regola puo' essere fatte algebricamente con
mezzi elementari:
a) si scrive l'equazione del fascio ,dipendente da 2 parametri $ $\lambda,\mu $
b) si impone che del fascio faccia parte una circonferenza
c)si scrivono le equazioni che danno le coordinate del centro della generica
conica del fascio
d) si eliminano dalle predette equazioni i 2 parametri ,ottenendo l'equazione
del luogo dei centri.
Dalle condizioni di cui al punto (b) si verifica che detto luogo e' una
iperbole equilatera.Procedendo a ritroso si completa il ragionamento.
Scegliendo opportunamente il riferimento cartesiano,e' facile verificare
tutto il procedimento nei casi prospettati da Evariste :due parabole o
una parabola ed una ellissse
Esiste anche una dimostrazione sintetica (senza calcoli!) che non riporto
in quanto richiede alcune nozioni di proiettiva sulle coniche che potrebbero
non interessare tutti.
Leandro
ulteriore considerazione.Mi sono chiesto se esistesse poi una
condizione particolare che garantisse la presenza di una
circonferenza in un fascio di coniche.
Leggicchiando qua e là ho trovato una regola che mi e' parsa
molto carina:
Condizione necessaria e sufficiente perche' di un fascio di coniche
faccia parte una circonferenza e' che il luogo dei centri delle coniche
del fascio sia una iperbole equilatera.
La dimostrazione di tale regola puo' essere fatte algebricamente con
mezzi elementari:
a) si scrive l'equazione del fascio ,dipendente da 2 parametri $ $\lambda,\mu $
b) si impone che del fascio faccia parte una circonferenza
c)si scrivono le equazioni che danno le coordinate del centro della generica
conica del fascio
d) si eliminano dalle predette equazioni i 2 parametri ,ottenendo l'equazione
del luogo dei centri.
Dalle condizioni di cui al punto (b) si verifica che detto luogo e' una
iperbole equilatera.Procedendo a ritroso si completa il ragionamento.
Scegliendo opportunamente il riferimento cartesiano,e' facile verificare
tutto il procedimento nei casi prospettati da Evariste :due parabole o
una parabola ed una ellissse
Esiste anche una dimostrazione sintetica (senza calcoli!) che non riporto
in quanto richiede alcune nozioni di proiettiva sulle coniche che potrebbero
non interessare tutti.
Leandro