Sia f una funzione unaria ed R una relazione binaria. Quali delle seguenti è vera?
$ \displaystyle ( \forall x (( \exists y \,\,\, R(x,y) \longrightarrow R(x,f(x))) $
$ \displaystyle ( \forall x (( \exists y \,\,\, R(x,y) \longleftarrow R(x,f(x))) $
Non riesco capire cosa vogliano dire quelle 2 formule logiche...
Funzione unaria
Innanzitutto manca una parentesi :
$ \forall x((\exists y R(x,y))\Rightarrow R(x,f(x))) $
vuol dire che, comunque scelta x, l'esistenza di una y tale che (x,y) verifica la relazione R implica che (x,f(x)) verifica la relazione R
$ \forall x((\exists y R(x,y))\Leftarrow R(x,f(x))) $
vuol dire che, comunque scelta x, il fatto che (x,f(x)) verifica la relazione R implica l'esistenza di una y tale che (x,y) verifica la relazione R.
Mentre la seconda è sempre vera (tale y esiste in quanto basta prendere y=f(x), visto che per ipotesi (x,f(x)) soddisfa), la prima è vera solo per particolari scelte di f o di x, quindi in generale è falsa; considera ad esempio l'insieme dei naturali, la relazione "essere congrui modulo m" e la funzione f(n)=1 per ogni n; per ogni x esiste un y (ne esistono infiniti) che è congruo ad y mod m, ma in generale è falso che x è congruo a f(x)=1 mod m.
$ \forall x((\exists y R(x,y))\Rightarrow R(x,f(x))) $
vuol dire che, comunque scelta x, l'esistenza di una y tale che (x,y) verifica la relazione R implica che (x,f(x)) verifica la relazione R
$ \forall x((\exists y R(x,y))\Leftarrow R(x,f(x))) $
vuol dire che, comunque scelta x, il fatto che (x,f(x)) verifica la relazione R implica l'esistenza di una y tale che (x,y) verifica la relazione R.
Mentre la seconda è sempre vera (tale y esiste in quanto basta prendere y=f(x), visto che per ipotesi (x,f(x)) soddisfa), la prima è vera solo per particolari scelte di f o di x, quindi in generale è falsa; considera ad esempio l'insieme dei naturali, la relazione "essere congrui modulo m" e la funzione f(n)=1 per ogni n; per ogni x esiste un y (ne esistono infiniti) che è congruo ad y mod m, ma in generale è falso che x è congruo a f(x)=1 mod m.