Altro problema tratto dalla raccolta di EvaristeG (che tra l'altro ringrazio):
Sia $ C1 $ una circonferenza di centro $ O1 $ e sia $ V $ un punto esterno ad essa; tracciamo le tangenti $ t1, t2 $ da $ V $ a $ C1 $. Sia $ C2 $ una circonferenza di centro $ O2 $ tangente a $ C1, t1, t2 $ con raggio minore di quello di $ C1 $. Sapendo che $ VO1=3 $ e che il raggio di $ C1 $ è $ 1 $, calcolare il raggio di $ C2 $.
Io sono arrivato ad un punto al di là del quale non so muovermi: ho individuato 2 triangoli rettangoli, il cui angolo rettangolo sta nel centro delle circonferenze; poichè hanno in comune 2 lati e un angolo allora sono proporzionali. Il rapporto fra i lati del più piccolo di base 2 e quelli del più grande di base 3 è di $ 2/3 $. Fatto ciò e sapendo i cateti, posso calcolarmi le ipotenuse e le altesse ad esse relative. Poi?
Triangolo2
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Chiamiamo $ A,B $ i punti di tangenza di $ C_1 $ con $ t_1,t_2 $ rispettivamente. Siano invece $ C,D $ i punti di contatto di $ C_2 $ con $ t_1,t_2 $. A questo punto osserviamo che i triangoli $ AO_1V $ e $ CO_2V $ sono simili.
Quindi, detto $ VO_2=x,\; r_{C_2}=y $, ricavo $ x+y+r_{C_1}=VO_1=3 $ da cui $ x+y=2 $
Ma anche, poiche' i due triangoli sono simili per le considerazioni gia' da te fatte, possiamo scrivere $ \displaystyle \frac{3}{x}=\frac{1}{y} $ da cui, sostituendo $ x=2-y $ ottengo $ y=r_{C_2}=\frac{1}{2} $
Quindi, detto $ VO_2=x,\; r_{C_2}=y $, ricavo $ x+y+r_{C_1}=VO_1=3 $ da cui $ x+y=2 $
Ma anche, poiche' i due triangoli sono simili per le considerazioni gia' da te fatte, possiamo scrivere $ \displaystyle \frac{3}{x}=\frac{1}{y} $ da cui, sostituendo $ x=2-y $ ottengo $ y=r_{C_2}=\frac{1}{2} $
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"Ti credevo uno stortone.. e pure vecchio.. (Lei)"
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