Inequality rebirth!!

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Simo_the_wolf
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Inequality rebirth!!

Messaggio da Simo_the_wolf » 10 set 2006, 10:45

Facili facili....

$ 0 \leq a,b,c \leq 1 $

1) $ a + b + c \leq abc +2 $

2) $ 3abc +a+b+c \geq 2 (ab+bc+ca) $

3) $ \displaystyle \frac a{1+bc} + \frac b{1+ac} + \frac c{1+ab} \leq 2 $

Una generalizzazione...

$ 0 \leq a_1,a_2,a_3 .... a_n \leq 1 $

4) $ a_1a_2a_3 ...a_n + n-1 \geq a_1 +a_2 +a_3+ ... +a_n $

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 10 set 2006, 21:33

iniziando dalla (3):

unsmoothing...

sia $ f(a,b,c) = LHS $.

Dimostro $ f(a,b,c) \leq f(a+b,c,0) $:

$ \displaystyle \underbrace{\sum_{cyc} \frac{a}{1+bc}}_{\leq a} \leq (a + b) + c + 0 $, vero!

Quindi posso porre $ c=0 $ da cui $ LHS \leq a+b \leq 2 $
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

Hammond
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Re: Inequality rebirth!!

Messaggio da Hammond » 10 set 2006, 21:51

Simo_the_wolf ha scritto: 2) $ 3abc +a+b+c \geq 2 (ab+bc+ca) $
$ a - ab - ac + abc = a(1 - b) - ac(1 - b) = a(1 - b)(1 - c) \ge 0 $
(e cicliche).

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 11 set 2006, 09:44

Hammond va bene... Gauss_87 non puoi fare l'unsmoothing in questo modo... le proprietà delle variabili "nuove" (nel tuo caso a+b, c, 0 ) devono essere le stesse di quelle vecchie... ora, nel nostro caso l'unica proprietà richiesta è $ 0 \leq a,b,c \leq 1 $ che non è detto sia soddisfatta da $ a+b $ che può essere anche maggiore di $ 1 $

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Messaggio da Gauss_87 » 11 set 2006, 10:11

Simo_the_wolf ha scritto:Hammond va bene... Gauss_87 non puoi fare l'unsmoothing in questo modo... le proprietà delle variabili "nuove" (nel tuo caso a+b, c, 0 ) devono essere le stesse di quelle vecchie... ora, nel nostro caso l'unica proprietà richiesta è $ 0 \leq a,b,c \leq 1 $ che non è detto sia soddisfatta da $ a+b $ che può essere anche maggiore di $ 1 $
si giusto, dimenticavo
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

Hammond
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Messaggio da Hammond » 11 set 2006, 14:43

Simo_the_wolf ha scritto: 1) $ a + b + c \leq abc +2 $
$ abc + 2 - a - b - c = (1 - a)(1 - b) + (1 - c)(1 - ab) \ge 0 $

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Messaggio da HomoPatavinus » 11 set 2006, 22:47

provo a risolvere il terzo esercizio, anche se di sicuro la mia è una dimostrazione un pò rozza.... però dovrebbe funzionare!

sia da dimostrare che:
$ \displaystyle \frac a{1 + bc} + \frac b{1 + ac} + \frac c{1 + ab} \leq 2 $

prima di tutto verifichiamo a manina i casi in cui a, b, c = 0 e in questi casi la tesi è banalmente vera.

in virtù del primo di questi esercizi posso scrivere;
$ abc + 2\geq a + b + c $
ed essendo a,b,c compresi tra 1 e 0, posso anche scrivere;
$ 9 > a + b + c + 3 $
moltiplicando membro a membro e dividendo opportunamente;
$ \displaystyle \frac 9{a + b + c + 3} \geq \frac{a + b + c - 2}{abc} $
inoltre essendo;$ ab < a , bc < b , ca < c $ si ha che:
$ \displaystyle \frac 9{ab + bc + ca + 3} \geq \frac 9{a + b + c + 3} $
essendo la media aritmetica sempre maggiore o uguale a quella armonica si ha;
$ \displaystyle \frac 1{ab + 1} + \frac 1{bc + 1} + \frac 1{ac + 1} \geq \frac 9{ab + bc + ca + 3} $
mettendo insieme tutte queste disuguaglianze posso scrivere quindi che;
$ \displaystyle \frac 1{ab + 1} + \frac 1{bc + 1} + \frac 1{ac + 1} \geq \frac{a + b + c - 2}{abc} $

separando i numeratori del membro di destra e sommando opportunamente si ha la tesi.

Hammond
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Re: Inequality rebirth!!

Messaggio da Hammond » 11 set 2006, 23:28

Per la terza,
$ \displaystyle \frac a{1+bc} + \frac b{1+ac} + \frac c{1+ab} \leq \frac a{1+abc} + \frac b{1+abc} + \frac c{1+abc} $

e sfruttando la prima disuguaglianza

$ a + b + c \le 2 (1 + abc) $

ser dark
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Re: Inequality rebirth!!

Messaggio da ser dark » 12 set 2006, 10:38

Hammond ha scritto:
Simo_the_wolf ha scritto: 2) $ 3abc +a+b+c \geq 2 (ab+bc+ca) $
$ a - ab - ac + abc = a(1 - b) - ac(1 - b) = a(1 - b)(1 - c) \ge 0 $
(e cicliche).
potresti spiegarlo in altro modo ? magari mettendo i passaggi che hai saltato. grazie
"quando qualcuno ti chiede se sei un dio, tu gli devi dire si!" Bill Murray(Peter) in Ghostbusters

Hammond
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Messaggio da Hammond » 12 set 2006, 16:57

Sì sì, scusa :).

Allora: porto tutto a primo membro e ho

$ 3abc + a + b + c - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0 $

Con un po' di smanettamenti si trova che il primo membro è uguale a

$ a(1-b)(1-c) + b(1-c)(1-a) + c(1-a)(1-b) $,

e questo è sicuramente maggiore o uguale a zero, dato che lo è ciascuno dei suoi termini (per le condizioni date su a, b e c).

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