Siano p>1 , q>1 numeri interi e sia x > 0 un numero reale.
a) Quale condizione su p e q garantisce che se $ x^p $ e $ x^q $ sono numeri interi allora x stesso è intero?
b) Quale condizione su p e q garantisce che se $ x^p $ e $ x^q $ sono numeri razionali allora x stesso è razionale?
posto questo esercizio perchè a me viene una soluzione troppo banale per essere vera....
sns 2000-2001
b) Sse gcd(p,q) = 1.
Dim.: sia r = gcd(p,q). Posto allora $ x = \sqrt[r]{2} $, si ha che $ x^p $ ed $ x^q $ sono entrambi razionali (anzi interi), e tuttavia $ x $ è irrazionale, a meno che r = 1. In tal caso, per via del lemma di Bezout, esistono $ m,n\in\mathbb{Z} $ tali che $ mp + nq = 1 $, e perciò $ x = x^{mp + nq} = (x^p)^m (x^q)^n $. Dunque $ x\in\mathbb{Q} $, se $ x^p $ ed $ x^q $ sono entrambi razionali. []
a) Sse gcd(p,q) = 1.
Dim.: immediata conseguenza della b).
Dim.: sia r = gcd(p,q). Posto allora $ x = \sqrt[r]{2} $, si ha che $ x^p $ ed $ x^q $ sono entrambi razionali (anzi interi), e tuttavia $ x $ è irrazionale, a meno che r = 1. In tal caso, per via del lemma di Bezout, esistono $ m,n\in\mathbb{Z} $ tali che $ mp + nq = 1 $, e perciò $ x = x^{mp + nq} = (x^p)^m (x^q)^n $. Dunque $ x\in\mathbb{Q} $, se $ x^p $ ed $ x^q $ sono entrambi razionali. []
a) Sse gcd(p,q) = 1.
Dim.: immediata conseguenza della b).
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anche a me è venuto cosi, ma mi sembrava troppo facile... io ho semplicemente fatto questo ragionamento;
se x è intero x^p è intero
se x è razionale x^p è razionale
se x è irrazionale x^p è razionale solo quando x = a^1/p , dove a è razionale.
ora tu non puoi essere sicuro che x = a^1/p non ti capiterà mai, può sempre capitare, allora per evitare che succeda anche con q basta che scegli un numero primo con p.
se x è intero x^p è intero
se x è razionale x^p è razionale
se x è irrazionale x^p è razionale solo quando x = a^1/p , dove a è razionale.
ora tu non puoi essere sicuro che x = a^1/p non ti capiterà mai, può sempre capitare, allora per evitare che succeda anche con q basta che scegli un numero primo con p.
Vedo un uomo, sulla riva del mare. Guarda fisso le onde, ha intuito la verità. Tuttavia, da qui ad averla dimostrata...HomoPatavinus ha scritto: se x è irrazionale x^p è razionale solo quando x = a^1/p , dove a è razionale.
ora tu non puoi essere sicuro che x = a^1/p non ti capiterà mai, può sempre capitare, allora per evitare che succeda anche con q basta che scegli un numero primo con p.