Dalla meccanica quantistica si sa che nell'atomo di idrogeno il momento angolare dell'elettrone può assumere solo certi valori quantizzati $ L_n = \frac h{2 \pi } n $.
Si determini la frequenza $ \nu_n $ e l'energia $ E_n $ dell'elettrone. Successivamente, sapendo che quando l'elettrone passa da un livello all'altro l'atomo rilascia un fotone di frequenza $ \bar{ \nu } _n = \frac {E_n - E_{n-1} }h $ stabilire la relazione che c'è fra $ \nu_n $ e $ \bar{\nu}_n $
sns 2006-2007 es. n°3
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Simo_the_wolf
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Posto la mia soluzione così la confrontiamo.
$ \displaystyle [1]\,\, mvr = n\frac{h}{{2\pi }} $
La forza centripeta che mantiene l'elettrone nella sua orbita circolare è la forza elettrica che si esercita tra l'elettrone e il nucleo. Il nucleo dell'atomo di idrogeno è costituito da un solo protone quindi:
$ \displaystyle m\frac{{v^2 }}{r} = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{{r^2 }} $
$ \displaystyle [2]\,\,mv^2 = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{r} $
Ricavando la velocità $ v $ dalla [1] e sostituendo nella [2] e risolvendo poi rispetto a r troviamo:
$ \displaystyle [3]\,\,r = n^2 \frac{{h^2 \varepsilon _0 }}{{\pi me^2 }} $
L'energia totale dell'elettrone è data dalla somma della sua energia cinetica e della sua enegria potenziale. L'energia cinetica per la [2] è data da:
$ \displaystyle K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{{8\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{r} $
quindi:
$ \displaystyle [4]\,\,E = K + U = \frac{1}{{8\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{r} - \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{r} = - \frac{{e^2 }}{{8\pi \varepsilon _0 r}} $
Sosituendo l'espressione [3] nella [4] si ricava E in funzione di n:
$ \displaystyle [5]\,\, E = - \frac{{me^4 }}{{8\varepsilon _0^2 h^2 n^2 }} $
Possiamo riscrivere la legge di Newton come:
$ \displaystyle m\left( {2\pi \nu _n } \right)^2 = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{{r^3 }} $
da cui si ricava:
$ \displaystyle \nu _n = \frac{{e^4 m}}{{4\varepsilon _0^2 n^3 h^3 }} $
Quando un atomo passa da un livello si energia ad uno adiacente emette un quanto di luce di frequenza:
$ \displaystyle \[ \overline {\nu _n } = \frac{{E_n - E_{n - 1} }}{h} = \frac{{me^4 }}{{8\varepsilon _0^2 h^3 }}\left( {\frac{1}{{\left( {n - 1} \right)^2 }} - \frac{1}{{n^2 }}} \right) = $$ \displaystyle \frac{{me^4 }}{{8\varepsilon _0^2 h^3 }}\left( {\frac{{2n - 1}}{{n^4 - 2n^3 + n^2 }}} \right) \approx \frac{{me^4 }}{{4\varepsilon _0^2 h^3 n^3 }} = \nu _n $
Ciao
$ \displaystyle [1]\,\, mvr = n\frac{h}{{2\pi }} $
La forza centripeta che mantiene l'elettrone nella sua orbita circolare è la forza elettrica che si esercita tra l'elettrone e il nucleo. Il nucleo dell'atomo di idrogeno è costituito da un solo protone quindi:
$ \displaystyle m\frac{{v^2 }}{r} = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{{r^2 }} $
$ \displaystyle [2]\,\,mv^2 = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{r} $
Ricavando la velocità $ v $ dalla [1] e sostituendo nella [2] e risolvendo poi rispetto a r troviamo:
$ \displaystyle [3]\,\,r = n^2 \frac{{h^2 \varepsilon _0 }}{{\pi me^2 }} $
L'energia totale dell'elettrone è data dalla somma della sua energia cinetica e della sua enegria potenziale. L'energia cinetica per la [2] è data da:
$ \displaystyle K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{{8\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{r} $
quindi:
$ \displaystyle [4]\,\,E = K + U = \frac{1}{{8\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{r} - \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{r} = - \frac{{e^2 }}{{8\pi \varepsilon _0 r}} $
Sosituendo l'espressione [3] nella [4] si ricava E in funzione di n:
$ \displaystyle [5]\,\, E = - \frac{{me^4 }}{{8\varepsilon _0^2 h^2 n^2 }} $
Possiamo riscrivere la legge di Newton come:
$ \displaystyle m\left( {2\pi \nu _n } \right)^2 = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{e^2 }}{{r^3 }} $
da cui si ricava:
$ \displaystyle \nu _n = \frac{{e^4 m}}{{4\varepsilon _0^2 n^3 h^3 }} $
Quando un atomo passa da un livello si energia ad uno adiacente emette un quanto di luce di frequenza:
$ \displaystyle \[ \overline {\nu _n } = \frac{{E_n - E_{n - 1} }}{h} = \frac{{me^4 }}{{8\varepsilon _0^2 h^3 }}\left( {\frac{1}{{\left( {n - 1} \right)^2 }} - \frac{1}{{n^2 }}} \right) = $$ \displaystyle \frac{{me^4 }}{{8\varepsilon _0^2 h^3 }}\left( {\frac{{2n - 1}}{{n^4 - 2n^3 + n^2 }}} \right) \approx \frac{{me^4 }}{{4\varepsilon _0^2 h^3 n^3 }} = \nu _n $
Ciao
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HomoPatavinus
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- Località: Padova
la regola generale che vale sia per il campo gravitazionale sia per quello elettrico è che l'energia potenziale è il doppio di quella cinetica cambiata di segno. se ti interessa dimostrarlo devi prima calcolare la distanza dall'elettrone dal nucleo, che si calcola con F(coulomb)= M(V^2)/r e poi applichi la formula dell'energia potenziale, che se non ti ricordi qual'è (come accade spesso a me), la ottieni facendo l'integrale della forza di coulomb in dR dove R è la distanza, per R che va da R a infinito.
sinceramente ho utilizzato direttamente questo fatto nel problema, ma non l'ho dimostrato (non ho fatto quei 4 calcoletti), pensate sia grave?HomoPatavinus ha scritto:la regola generale che vale sia per il campo gravitazionale sia per quello elettrico è che l'energia potenziale è il doppio di quella cinetica cambiata di segno.
spero di no perchè proprio questo problema era il più facile, credo.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza