sns 2006-2007, es. 6
sns 2006-2007, es. 6
(1)
Disegnare la regione di piano delle coppie $ (x,y) $
tali che $ \forall \xi \in [0, \pi] $
$ x \sin \xi + y \sin (2 \xi) \ge 0 $
poi c'era un punto (2) ma non mi ricordo la disequazione, e per evitare di scrivere cavolate non la metto, invito chi se la ricordi ad aggiungerla
Disegnare la regione di piano delle coppie $ (x,y) $
tali che $ \forall \xi \in [0, \pi] $
$ x \sin \xi + y \sin (2 \xi) \ge 0 $
poi c'era un punto (2) ma non mi ricordo la disequazione, e per evitare di scrivere cavolate non la metto, invito chi se la ricordi ad aggiungerla
Non vorrei fare il saputello spocchioso che ha appena terminato la quarta (e quindi anche goniometria), ma questo non era certo un esercizio irresistibile a mio avviso (nonostante sia il primo che leggo di matematica tra quelli per le ammissioni alla sns un pò per curiosità).
Provo a scrivere la soluzione (se non ho compreso bene il testo sono convinto che mi beccherò uno "scemo scemo" all'arrivo allo stage di pisa):
1) la disequazione si può scrivere anche come $ x \sin \xi+2y \sin \xi \cos \xi \geq 0 $ raccogliamo e otteniamo $ \sin \xi(x+2y \cos \xi) \geq 0 $ essendo $ \xi $ tra 0 e $ \pi $, $ \sin \xi \geq 0 $ nel caso uguale a 0 la disequazione è sempre verificata, quindi la disequazione è vera se $ x+2y \cos \xi \geq 0 $ quindi $ x \geq -2y \cos \xi $.
$ -2 \cos \xi $ può raggiugere come valore massimo 2 con $ \xi =\pi $ quindi se la disequazione deve essere valida per ogni $ \xi $ si può modificare in $ x \geq 2y $.
Questa equazione disegna nel piano un semi piano delimitato dalla retta $ x=2y $ che contiene il punto (1;0)
Provo a scrivere la soluzione (se non ho compreso bene il testo sono convinto che mi beccherò uno "scemo scemo" all'arrivo allo stage di pisa):
1) la disequazione si può scrivere anche come $ x \sin \xi+2y \sin \xi \cos \xi \geq 0 $ raccogliamo e otteniamo $ \sin \xi(x+2y \cos \xi) \geq 0 $ essendo $ \xi $ tra 0 e $ \pi $, $ \sin \xi \geq 0 $ nel caso uguale a 0 la disequazione è sempre verificata, quindi la disequazione è vera se $ x+2y \cos \xi \geq 0 $ quindi $ x \geq -2y \cos \xi $.
$ -2 \cos \xi $ può raggiugere come valore massimo 2 con $ \xi =\pi $ quindi se la disequazione deve essere valida per ogni $ \xi $ si può modificare in $ x \geq 2y $.
Questa equazione disegna nel piano un semi piano delimitato dalla retta $ x=2y $ che contiene il punto (1;0)
pippiripò
Counter Example: $ (-1 , -1) $ verifica il tuo semipiano, eppure sostituendo, dopo 2 passaggi:genius88 ha scritto:quindi se la disequazione deve essere valida per ogni $ \xi $ si può modificare in $ x \geq 2y $.
Questa equazione disegna nel piano un semi piano delimitato dalla retta $ x=2y $ che contiene il punto (1;0)
$ \cos(\xi) \leq - \frac{1}{2} $ è FALSA $ \forall \xi \in [0, \pi] $
Io proverei a verifcare che succede in $ \xi = \frac{\pi}{2} $ da cui una condizione da verificare SEMPRE e mettere a sistema con il tuo semipiano "geniale"
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Giusto, grazie per la correzione, sarei stato bocciato!!!!
Quindi se $ y \geq 0 $ allora $ x \geq 2y $ e se $ [tex] $y<0$ [tex] $ allora $ x \geq -2y $ in poche parole quindi $ x \geq \left|2y\right| $, si ottiene sempre un semi piano che questa volta è delimitato da una spezzata, $ x=\left|2y\right| $, formata da due semirette che partono dall'origine, la prima appartenente alla retta $ x=2y $ nel tratto in cui si trova nel primo quadrante, la seconda $ x=-2y $ nel tratto in cui si trova nel quarto quadrante (il punto (1;0) rimane).
Siccome ( fino ad adesso ) ho commesso un solo errore, secondo le regole della indimenticabile palla asino sono a "s...." , altri quattro (o uno grave) ed arrivo a "scemo"
Quindi se $ y \geq 0 $ allora $ x \geq 2y $ e se $ [tex] $y<0$ [tex] $ allora $ x \geq -2y $ in poche parole quindi $ x \geq \left|2y\right| $, si ottiene sempre un semi piano che questa volta è delimitato da una spezzata, $ x=\left|2y\right| $, formata da due semirette che partono dall'origine, la prima appartenente alla retta $ x=2y $ nel tratto in cui si trova nel primo quadrante, la seconda $ x=-2y $ nel tratto in cui si trova nel quarto quadrante (il punto (1;0) rimane).
Siccome ( fino ad adesso ) ho commesso un solo errore, secondo le regole della indimenticabile palla asino sono a "s...." , altri quattro (o uno grave) ed arrivo a "scemo"
pippiripò
Questa la stavo scrivendo mentre gauss mi correggeva!
2) la disequazione si può modificare in:
$ (2 \sin \xi \cos \xi +4 \sin \xi)t^2+(3t+4)2 \sin \xi \cos \xi<0 $
e
$ 2 \sin \xi[( \cos \xi +2)t^2+(3t+4) \cos \xi]<0 $
poichè $ \sin \xi \geq 0 $ o $ \xi=\frac{\pi}{2} $ e allora l'ipotesi non è soddisfatta, oppure $ ( \cos \xi +2)t^2+(3t+4) \cos \xi<0 $, allora
$ ( \cos \xi +2)t^2+3t \cos \xi+4 \cos \xi<0 $.
Qui trattiamo il primo membro come se fosse un trinomio di secondo grado, il coefficiente del termine massimo è sempre positivo quindi dovremo prendere i valori interni alle due radici del polinomio e $ \Delta=9 \cos^2 \xi-16 \cos \xi (\cos \xi+2)=-7 \cos^2 \xi-32 \cos \xi $ da cui deriviamo che $ \cos \xi $ si trova tra 0 e$ -\frac{32}{7} $ se vogliamo che il delta sia positivo, che equivale a dire che se il coseno è positivo (cioè $ 0 \geq \xi \geq \pi $), delta è negativo e il primo membro della disequazione è quindi sempre positivo,ciò va contro l'ipotesi quindi non esiste alcun t per cui ogni valore dell'angolo $ \xi $ soddisfi l'equazione data.
2) la disequazione si può modificare in:
$ (2 \sin \xi \cos \xi +4 \sin \xi)t^2+(3t+4)2 \sin \xi \cos \xi<0 $
e
$ 2 \sin \xi[( \cos \xi +2)t^2+(3t+4) \cos \xi]<0 $
poichè $ \sin \xi \geq 0 $ o $ \xi=\frac{\pi}{2} $ e allora l'ipotesi non è soddisfatta, oppure $ ( \cos \xi +2)t^2+(3t+4) \cos \xi<0 $, allora
$ ( \cos \xi +2)t^2+3t \cos \xi+4 \cos \xi<0 $.
Qui trattiamo il primo membro come se fosse un trinomio di secondo grado, il coefficiente del termine massimo è sempre positivo quindi dovremo prendere i valori interni alle due radici del polinomio e $ \Delta=9 \cos^2 \xi-16 \cos \xi (\cos \xi+2)=-7 \cos^2 \xi-32 \cos \xi $ da cui deriviamo che $ \cos \xi $ si trova tra 0 e$ -\frac{32}{7} $ se vogliamo che il delta sia positivo, che equivale a dire che se il coseno è positivo (cioè $ 0 \geq \xi \geq \pi $), delta è negativo e il primo membro della disequazione è quindi sempre positivo,ciò va contro l'ipotesi quindi non esiste alcun t per cui ogni valore dell'angolo $ \xi $ soddisfi l'equazione data.
pippiripò
ora che rileggo vi chiedo: sarebbe stato troppo squallido se nel secondo punto dell'esercizio uno avesse risposto <<nessuno poichè con $ \xi=0 $il primo membro della disequazione diventa nullo per ogni valore di t non soddisfacendo l'ipotesi e quindi non esiste nessun t che soddisfi la disequazione per ogni valore di $ \xi $ >>
pippiripò
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chiedo scusa, sono un "homo novus" in questo forum.
Mi sembra di aver trovato un'irregolarità nel ragionamento
Per esempio per t= 0 la relazione diventa (pongo xi=§ per comodità):
4sin(2§)<0, cioé 8(sin§)(cos§)<0. Poiché nell'intervallo ]0, pi[ il seno è sempre positivo, la relazione diventa:
cos§<0 che è verificata da qualunque valore tra pi/2 e pi
Dunque t=0 rientra nei parametri fissati dal questito (Questa è solo una controprova, se confermerete il mio ragionamento vi fornirò l'intervallo completo dei valori di t che soddisfano le condizioni richieste)
Mi sembra di aver trovato un'irregolarità nel ragionamento
Il quesito non chiede di determinare i valori di t per cui OGNI valore dell'angolo xi soddisfi la disequazione. Per cui basta che UN SOLO valore di xi la soddisfi perché il valore di t assegnato sia accettabile.non esiste alcun t per cui ogni valore dell'angolo soddisfi l'equazione data
Per esempio per t= 0 la relazione diventa (pongo xi=§ per comodità):
4sin(2§)<0, cioé 8(sin§)(cos§)<0. Poiché nell'intervallo ]0, pi[ il seno è sempre positivo, la relazione diventa:
cos§<0 che è verificata da qualunque valore tra pi/2 e pi
Dunque t=0 rientra nei parametri fissati dal questito (Questa è solo una controprova, se confermerete il mio ragionamento vi fornirò l'intervallo completo dei valori di t che soddisfano le condizioni richieste)
Guarda nella sezione latex per imparare il suddetto (è un linguaggio in cui scrivere formule matematiche) e poi schiaffi le formule tra due tag :
ottenendo questo : $ x^2+y^2+\sin(t\csi)-e^{\pi}=f(x,y,t) $
Suggerimento : se vedi una formula e vuoi sapere come è stata ottenuta, lasciaci sopra il puntatore e la descrizione che comparirà è il codice con cui la formula è stata ottenuta.
Codice: Seleziona tutto
[tex]x^2+y^2+\sin(t\csi)-e^{\pi}=f(x,y,t)[/tex]
Suggerimento : se vedi una formula e vuoi sapere come è stata ottenuta, lasciaci sopra il puntatore e la descrizione che comparirà è il codice con cui la formula è stata ottenuta.
scusate per 2 errori
1)ho inteso il problema come quello precedente, se ho sbagliato e voi avete ragione (molto probabile) i t validi si trovano tra
$ \frac{-3 \cos \xi - \sqrt{-7 \cos^2 \xi -32 \cos \xi}}{2 \cos \xi +4} $ e
$ \frac{-3 \cos \xi + \sqrt{-7 \cos^2 \xi -32 \cos \xi}}{2 \cos \xi +4} $
ora bisogna trovare il minimo che raggiunge la prima formula nell'intervallo $ -1 \geq \cos \xi \geq 1 $ ed il massimo che raggiunge la seconda nello stesso intervallo (non so farlo se non con derive6 )
2)intendevo al posto di $ \pi $ $ \frac{\pi}{2} $
sce..
1)ho inteso il problema come quello precedente, se ho sbagliato e voi avete ragione (molto probabile) i t validi si trovano tra
$ \frac{-3 \cos \xi - \sqrt{-7 \cos^2 \xi -32 \cos \xi}}{2 \cos \xi +4} $ e
$ \frac{-3 \cos \xi + \sqrt{-7 \cos^2 \xi -32 \cos \xi}}{2 \cos \xi +4} $
ora bisogna trovare il minimo che raggiunge la prima formula nell'intervallo $ -1 \geq \cos \xi \geq 1 $ ed il massimo che raggiunge la seconda nello stesso intervallo (non so farlo se non con derive6 )
2)intendevo al posto di $ \pi $ $ \frac{\pi}{2} $
sce..
pippiripò
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- Messaggi: 706
- Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
- Località: Chiavari
La mia soluzione al punto due... ma non garantisco (per comodità, $ x=\xi $)
Con le formule di duplicazione otteniamo
$ 0 > (2 \sin x \cos x + 4 \sin x)t^2 + (3t+4) 2 sin(x) cos(x) $
Possiamo supporre che sin x>0 (altrimenti si avrebbe 0<0)
Pertanto otteniamo
$ (2 \cos x + 4) t^2 + 2(3t+4) \cos x < 0 $, cioè, risolvendo per cos x, $ [tex] $ \cos x (2t^2 + 6t + <-4t^2[/tex]
Si può facilmente verificare che il coefficiente di cos(x) è sempre positivo (modulo errori di calcolo), quindi
$ \cos x < \frac{-2t^2}{t^2+3t+4} $
$ -1 \leq \cos x < \frac{-2t^2}{t^2+3t+4} $
$ -1 < \frac{-2t^2}{t^2+3t+4} $
$ t^2-3t-4<0 $, da cui -1<t<4.
Del resto questa condizione è necessaria, ma è anche sufficiente: basta infatti porre $ \xi =\pi $ per avere una soluzione
Ciao!
Con le formule di duplicazione otteniamo
$ 0 > (2 \sin x \cos x + 4 \sin x)t^2 + (3t+4) 2 sin(x) cos(x) $
Possiamo supporre che sin x>0 (altrimenti si avrebbe 0<0)
Pertanto otteniamo
$ (2 \cos x + 4) t^2 + 2(3t+4) \cos x < 0 $, cioè, risolvendo per cos x, $ [tex] $ \cos x (2t^2 + 6t + <-4t^2[/tex]
Si può facilmente verificare che il coefficiente di cos(x) è sempre positivo (modulo errori di calcolo), quindi
$ \cos x < \frac{-2t^2}{t^2+3t+4} $
$ -1 \leq \cos x < \frac{-2t^2}{t^2+3t+4} $
$ -1 < \frac{-2t^2}{t^2+3t+4} $
$ t^2-3t-4<0 $, da cui -1<t<4.
Del resto questa condizione è necessaria, ma è anche sufficiente: basta infatti porre $ \xi =\pi $ per avere una soluzione
Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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