en passant (for beginners)

[ma_go]

ok, la questioncina en passant che ho proposto due volte in un lunghissimo thread, è passata davvero inosservata..
però ai tempi (l'anno scorso, non pensiate che sia così vecchio) mi era parsa carina...
è molto facile, motivo per cui ero dubbioso di postarla a parte, però...

dire se la seguente implicazione è vera o falsa:
se esiste $ \lim_{x\to 0} f'(x) $ allora $ f $ è derivabile in $ 0 $.

ps. mi permetto di sottolineare il "for beginners" del titolo...

[MindFlyer]

Oh, povero thread.

$ \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x} $.

[ma_go]

pensavo fosse sottointeso, quel limite esiste finito..
sorry..
m.

[NM]

scusate ma si vuole anche continua la funzione?
Perchè altrimenti basta prendere una funzione continua e derivabile e modificare il valore in 0 di modo che ivi sia discontinua e di conseguenza non derivabile, ma mi pare strano che sia questo che richiede il problema: altrimenti sarebbe stato formulato in modo diverso... o no?

[ma_go]

uff
chiedo umilmente scusa..
ora riscrivo il problema in modo completo e comprensibile (è abbastanza chiaro che NM ha pienamente ragione, basta prendere $ f(x) = 0 $ per $ x<0 $, $ f(x) = 1 $ per $ x\ge 0 $):

data $ f $ continua tale che esiste finito $ \lim_{x\to 0} f'(x) $, $ f $ è derivabile in $ 0 $?
se sì, dimostrarlo, se no esibire un controesempio...

[NM]

boh a me viene che è vero ... ho provato a scrivere la funzione come integrale di una funzione Riemann-integrabile per x>0 e di una diversa funzione per x<0 che però siano continue e con i limiti in 0 uguali... questo credo si possa fare perchè la funzione in un intorno di 0 è derivabile... e poi ho usato le stime date dalla derivata..

Se mi dite che il risultato torna, posso provare a scrivere il metodo... non lo faccio ora perchè mi pare strano come risultato

[Nonno Bassotto]

Molto più semplice...

[NM]

Beh... ma è vero o no? non l'ho ancora capito
perchè quanto ho scritto sul mio blocco è semplice... devo dedurre che esiste un contro-esempio "facile"??
ho usato degli integrali per comodità (e perchè cercavo un contro-esempio!), ma avrei potuto seguire lo stesso procedimento anche solo con il teorema di Lagrange (le cui ipotesi sono soddisfatte)... (quello che dice |f(h)-f(0)| minore o uguale di h moltiplicato il sup delle derivate nell'aperto)...
tu che dici, Nonno Bassotto???

[ma_go]

beh, se sei convinto di quello che dici, scrivilo
nessuno ti fucila se scrivi qualche stronzata (se non mi hanno fucilato su mathlinks per aver applicato am-gm nel verso sbagliato...)...
però non è divertente se ti diciamo subito cosa è vero e cosa è falso

comunque, credo che nonno bassotto si riferisse ad una soluzione più breve al quesito (diciamo che lo capisco )

[NM]

non sono convinto, cmq... suppongo che i limiti delle derivate siano 0 e che f(0)=0. Poi gli altri casi si faranno analogamente. Prendo un h piccolo a piacere. in [0,h] le ipotesi del teorema del valor medio sono verificate, quindi

$ |f(h)|<= \sup_{x \in (0,h)} |f'(x)|*h $

e quindi

$ |f(h)/h|<= \sup_{x \in (0,h)} |f'(x)| $

ma quest'ultimo tende a 0 per h che tende a 0 per ipotesi. da cui la derivata in 0 esiste ed è nulla.

[HomoPatavinus]

ma se prendessimo y=|x| ? a me pare continua e con una derivata destra diversa da quella sinistra per x --> 0 ....
è sufficiente per negare la tesi? io dico di si....

[HomoPatavinus]

scusate avevo letto male la consegna. Avevo confuso LimF'(x) con LimF(x). per farmi perdonare mi farò pubblicamente umiliare provando a fare questa dimostrazione (che sarebbe la mia priama volta).

la dimostrazione l'ho cancellata, spero ness1 l'abbia letta.

[ma_go]

primo messaggio: non esiste il limite delle derivate in 0, homopatavinus (o omodepadoa)...
secondo messaggio: $ |x| $ dà un esempio di una funzione per cui i limiti destri e sinistri delle derivate esistono diversi...

NM: a me pare che funzioni...
però.. c'è una soluzione più breve...
piccolo (piccolissimo, eh) hint:

de l'hopital

[HomoPatavinus]

ho cancellato la dimostrazione di prima. Era oscena. Comunque continuo a pensare che una funzione sia derivabile per definizione in un dato punto se il limite della derivata in quel punto esiste ed è finito.

[NM]

NM: a me pare che funzioni...
però.. c'è una soluzione più breve...
piccolo (piccolissimo, eh) hint:

de l'hopital

non mi era venuto in mente! Sarà perchè non ho mai utilizzato in vita mia quel teorema? ...
cmq perchè scomodare il marchese se basta un semplice valor medio ??? (ok! perchè è ancora più veloce... ma la via facile non sempre è quella migliore ... eheh)

@Homopatavinus: se guardi bene, nei post sopra ci sono esempi di funzione che falsificano quanto dici...