Un altro esercizio sulla divisibilità

[HomoPatavinus]

Avrei un altro problema che non riesco a risolvere sulla divisibilità, mi è stato ispirato sempre dallo stesso test di ammissione del topic precedente:

Dimostrare che se un numero naturale intero n è esprimibile nella forma:
$ \displaystyle n = k*(3k+2\sqrt {2k^2 + 1} ) $ dove k è un intero maggiore di 2,
allora n è multiplo di 24.

Se faccio troppi post di questo genere e ritenete che usi il forum in modo egoistico non fatevi problemi a dirmelo che smetto subito, e ad ogni modo ringrazio per il vostro aiuto.

[HiTLeuLeR]

Dimostrare che se un numero naturale intero n è esprimibile nella forma:
$ \displaystyle n = k*(3k+2\sqrt {2k^2 + 1} ) $ dove k è un intero maggiore di 2, allora n è multiplo di 24.

Perché n sia un intero, è necessario che $ 2k^2 + 1 $ sia un quadrato perfetto, ovvero che esista $ a \in \mathbb{N} $ tale che $ 2k^2 + 1 = a^2 $. Questo significa che a è dispari, per cui $ a^2 = 1 \bmod 8 $. Ne segue che k dev'essere a forza pari. Poniamo perciò k = 2m, con $ m\in\mathbb{Z} $, di modo che $ n = 4m \cdot (3m + a) $. Proviamo che 8 | n. Se m è pari, allora 8 | 4m. Se invece $ 2 \nmid m $, allora 2 | (3m+a), e in entrambi i casi 8 | n. Mostriamo infine che 3 | n. Se 3 | m, questo è banale. Se invece $ 3 \nmid m $, allora $ a^2 \equiv 8m^2 + 1 \equiv 0 \bmod 3 $, i.e. 3 | (3m+a). Nell'uno e nell'altro caso, 3 | n. Dunque n è divisibile per 24, poiché gcd(8,3) = 1.

Se faccio troppi post di questo genere e ritenete che usi il forum in modo egoistico non fatevi problemi a dirmelo che smetto subito, e ad ogni modo ringrazio per il vostro aiuto.

Penso di parlare a nome di tutti se ti dico che fa soltanto piacere, poterti essere d'aiuto in alcun modo.

[HomoPatavinus]

grazie HiTLeuLeR, la dimostrazione l'ho capita (c'ero quasi arrivato da solo) anche se non ho mai visto simboli del tipo; $ 1 \bmod8 $ ; $ \equiv $ e gcd . Se conoscete una guida molto breve per questo tipo di problemi forse è meglio, cosi evito di postare per ogni stupidaggine.

[HiTLeuLeR]

gcd = greatest common divisor, tradotto in italiano in "massimo comun divisore".

In quanto al "mod", ti rimando semplicemente ad una pagina del glossario - precisamente questa!

[HomoPatavinus]

mi sono letto il glossario (utilissimo e grazie 1000) ed ho 2 domande:

1) quando hai scritto

Se invece $ 3 \nmid m $, allora $ a^2 \equiv 8m^2 + 1 \equiv 0 \bmod 3 $, i.e. 3 | (3m+a).

dev'esserci un passaggio che hai saltato perche non ho capito come ci sei arrivato... io ci sono arrivato così:
$ a^2 = 8m^2 + 1 = 8m^2 -2 + 3 = 2(2m+1)(2m-1) +3 $
se M non è divisibile per 3 neppure 2M lo è, e tra 3 numeri consecutivi (2M-1;2M;2M+1) ci dev'essere a forza un multiplo di tre, quindi o 2M+1 o 2M-1 è multiplo di 3, che si può quindi raccogliere in tutti e 2 gli addendi.

2) di carattere più generale:
ma dire che A-B=nM non è più semplice e immediato di A=B mod M ? che vantaggi comporta questa notazione strana? per mettere in evidenza quanto devi togliere da A affinchè sia divisibile per M ?

[Santana]

2) di carattere più generale:
ma dire che A-B=nM non è più semplice e immediato di A=B mod M ? che vantaggi comporta questa notazione strana? per mettere in evidenza quanto devi togliere da A affinchè sia divisibile per M ?

No, anzi è più difficile, se hai a che fare con tante congruenze ti toccherà usare un sacco di variabili "ausiliarie" come la n sopra.

[HiTLeuLeR]

1) quando hai scritto

Se invece $ 3 \nmid m $, allora $ a^2 \equiv 8m^2 + 1 \equiv 0 \bmod 3 $, i.e. 3 | (3m+a).

dev'esserci un passaggio che hai saltato perche non ho capito come ci sei arrivato [...]

Se 3 non divide m, allora $ m \equiv \pm 1 \bmod 3 $, e perciò $ m^2 \equiv 1 \bmod 3 $, dalle proprietà elementari delle congruenze.

Per quel che riguarda poi l'impiego dei moduli per esprimere la condizione di divisibilità, sarai tu stesso a dartene ragione attraverso la soluzione dei problemi, puoi credermi... Pertanto non ci spendo parola!