Bolzo88 ha scritto:
Tre contenitori di forma cilindrica e di massa m sono disposti nel seguente modo: due sono appoggiati a terra, adiacenti uno all'altro, e il terzo e' appoggiato sopra di essi. Ipotizzando che non ci siano attriti, trovare la velocita' orizzontale dei due contenitori appoggiati a terra quando anche il terzo tocca terra.
Problema molto interessante. Io lo risolverei così.
Indichiamo con $ \theta $ l'angolo tra la verticale passante per il centro del cilindro superiore e la retta che passa per il centro di un cilindro inferiore.
Poniamo l'origine del sistema di riferimento nel punto di contatto delle due sfere inferiori.
Finchè i due cilindri sono a contatto la posizione del centro della sfera superiore è:
$ y=2rcos\theta $
La sua velocità è perciò:
$ \displaystyle V_y=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{d\theta} \frac{d\theta}{dt}=-2rsin\theta \frac{d\theta}{dt} $
Quello della sfera inferiore che si muove nel verso positivo è:
$ x=2rsin\theta $
e la sua velocità è:
$ \displaystyle V_x=\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=2rcos\theta \frac{d\theta}{dt} $
Applichiamo ora il principio di conservazione dell'energia meccanica. Si ha:
$ mg(2rcos30°)=mV_x^2+\frac{1}{2}mV_y^2+mg(2rcos\theta) $
O anche:
$ 2rg(\sqrt3-2cos\theta)=2V_x^2+V_y^2 $
Essendo $ V_y=-V_xtan\theta $ si trova:
$ 2rg(\sqrt3-2cos\theta)=(2+tan^2\theta)V_x^2 $
Cioè:
$ \displaystyle V_x=cos\theta \sqrt{\frac{2rg(\sqrt3-2cos\theta)}{1+cos^2\theta}} $
Per trovare l'angolo di distacco consideriamo che la velocità dei cilindri inferiori aumenta col tempo fino al momento del distacco e poi rimane costante non essendoci più alcuna forza che agisce su di essi.
L'accelerazione dei due cilindri inferiori è nulla quando:
$ \displaystyle a_x=\frac{dV_x }{dt}=\frac{dV_x}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=0 $
Annullando la derivata della velocità si trova l'equazione:
$ cos^3\theta+3cos\theta-\sqrt3=0 $
Risolvendola numericamente si trova che l'angolo di distacco è $ \theta_{max}=58,115° $
Inserendo questo valore la velocità massima dei cilindri inferiori diventa:
$ V_x=0,543\sqrt{gr} $