Somma dei primi numeri n interi
Somma dei primi numeri n interi
Qualcuno può dimostrarmi la formula della domma dei primi numeri n interi?
Cioè 1+2+3....+n = [n(n+1)]/2
Scusate vado di fretta e non mi andava di usare il Latex
Ciao
Cioè 1+2+3....+n = [n(n+1)]/2
Scusate vado di fretta e non mi andava di usare il Latex
Ciao
induzione:
per n=1 : n(n+1)/2=1*2/2=1, ok
se vale per n : 1+2+...+(n+1)=(1+2+...+n)+(n+1)=n(n+1)/2 + (n+1)=(n+1)(n+2)/2, et voilà
oppure:
1+2+...+n=
n+(n-1)+...+1
sommando le 2 righe e associando i termini delle colonne corrispondenti viene fuori
(n+1)+(n+1)+....+(n+1) (n volte) =n(n+1)
quindi 2(1+2+...+n)=n(n+1), e ok
bye
per n=1 : n(n+1)/2=1*2/2=1, ok
se vale per n : 1+2+...+(n+1)=(1+2+...+n)+(n+1)=n(n+1)/2 + (n+1)=(n+1)(n+2)/2, et voilà
oppure:
1+2+...+n=
n+(n-1)+...+1
sommando le 2 righe e associando i termini delle colonne corrispondenti viene fuori
(n+1)+(n+1)+....+(n+1) (n volte) =n(n+1)
quindi 2(1+2+...+n)=n(n+1), e ok
bye
hydro ha scritto:Un altro modo di vederlo è quello che usò il simpatico Gauss all'età di 6 anni...
se disegni un triangolo del genere
x
xx
xxx
xxxx
.........
vedi che la sua area (che è la somma che stai cercando) è la metà di quella del rettangolo
xoooo
xxooo
xxxoo
xxxxo
la cui altezza è n e la base n+1
Ma 6 anni Gauss già si occupava di queste cose? Che infanzia felice..
a parte che è un po' una leggenda ^^
Pare l'abbia raccontata lui e l'età che aveva è molto vaga (cioè ci sono molte versioni), devo ammettere che 6 anni sembra poco anche a me :p
Comunque buon per lui se da piccolo faceva queste cose ^^
PS: Non è che se ne occupava: il padre per renderlo un ragazzo prodigio gli procurò un'istruzione matematica forzata, cosa non rarissima all'epoca. E comunque non fu uno studio particolare, solo un'ispirazione
Pare l'abbia raccontata lui e l'età che aveva è molto vaga (cioè ci sono molte versioni), devo ammettere che 6 anni sembra poco anche a me :p
Comunque buon per lui se da piccolo faceva queste cose ^^
PS: Non è che se ne occupava: il padre per renderlo un ragazzo prodigio gli procurò un'istruzione matematica forzata, cosa non rarissima all'epoca. E comunque non fu uno studio particolare, solo un'ispirazione
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D
[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1
e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}
2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]
[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1
e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}
2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]
Oppure anche: la somma dei primi n interi positivi è anche pari al numero di sottoinsiemi di due elementi contenuti nell'insieme {0, 1, ..., n}.sotyri ha scritto:1+2+3....+n = [n(n+1)]/2
Perché? Perché se per elemento minimo del sottinsieme piglio 0, allora ho n scelte possibili per il secondo elemento. Se piglio 1, ho n-1 scelte. Se piglio 2, ho n-2 scelte. ... Se piglio n-1, ho una sola scelta per il secondo elemento (ossia n). Se piglio n, ho zero scelte. Totale delle coppie: n+ (n-1) + (n-2) +...+ 2 + 1 [+0].
Ma si sa che scegliere due elementi in un insieme di n+1 elementi si può fare in
$ $\binom{n+1} 2 = \frac{(n+1)n}{2} $. []
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Ok dopo avere letto la soluzione figa (quella di Marco) vediamo anche quella brutta e contosa (cavoli la mia prima soluzione con le funzioni generatrici..)
Ricordo la seguente, valida in un opportuno insieme
(“would be valid as an identity in the ring of formal power series”)
$ \sum x^n = \frac{1}{1-x} $
Se non specificato le sommatorie sono intese da 0 a + infinito.
Lemma 1: $ \sum n x^n =\sum (n+1)x^{n+1} = \frac{x}{(1-x)^2} $
$ LHS=\sum x \frac{d}{dx} x^n $
$ = x \frac{d}{dx}\sum x^n $
$ = x\frac{d}{dx} \frac{1}{1-x} = \frac{x}{(1-x)^2} $
Lemma 2: $ \sum (n+1)x^n = \frac{1}{(1-x)^2} $
LHS$ = \frac{\sum (n+1)x^{n+1}}{x} $
$ = \frac{1}{(1-x)^2} $
Lemma 3: $ \sum(n+1)^2 x^n = \frac{x+1}{(1-x)^3} $
$ LHS = \frac{d}{dx}\sum (n+1)x^{n+1} $
$ = \frac{d}{dx}\frac{x}{(1-x)^2} $
$ = \frac{x+1}{(1-x)^3} $
Problema vero e proprio:
$ \displaystyle f(n) = \sum_{i=0}^n i $
Da cui ricavo la relazione ricorsiva:
$ 1)\displaystyle f(n)=n+f(n-1) $ per $ \displaystyle n > 0 $
$ \displaystyle f(0)=0 $
Sia A(x) la funzione generatrice di f(n).
$ \displaystyle A(x)=\sum f(n) x^n $
Moltiplico la 1 per $ x^n $ ottenendo:
$ 2)\displaystyle f(n)x^n = (n) x^n+f(n-1)x^n $
dalla 2 deduco (sommando da 0 a infinito):
$ \displaystyle\sum f(n)x^n =A(x)-f(0)=A(x)=xA(x)+\sum nx^n $
ovvero:
$ \displaystyle A(x)=\frac{\sum nx^n}{1-x} $
$ \displaystyle = \frac{x}{(1-x)^3} $
$ \displaystyle =\frac{1}{2} (\frac{x+1}{(1-x)^3}-\frac{1}{(1-x)^2}) $
$ \displaystyle =\frac{1}{2}(\sum (n+1)^2x^n-(n+1)x^n) $
$ \displaystyle =\sum \frac{n(n+1)}{2}x^n $
Quindi $ \displaystyle f(n)= \frac{n(n+1)}{2} $
Ricordo la seguente, valida in un opportuno insieme
(“would be valid as an identity in the ring of formal power series”)
$ \sum x^n = \frac{1}{1-x} $
Se non specificato le sommatorie sono intese da 0 a + infinito.
Lemma 1: $ \sum n x^n =\sum (n+1)x^{n+1} = \frac{x}{(1-x)^2} $
$ LHS=\sum x \frac{d}{dx} x^n $
$ = x \frac{d}{dx}\sum x^n $
$ = x\frac{d}{dx} \frac{1}{1-x} = \frac{x}{(1-x)^2} $
Lemma 2: $ \sum (n+1)x^n = \frac{1}{(1-x)^2} $
LHS$ = \frac{\sum (n+1)x^{n+1}}{x} $
$ = \frac{1}{(1-x)^2} $
Lemma 3: $ \sum(n+1)^2 x^n = \frac{x+1}{(1-x)^3} $
$ LHS = \frac{d}{dx}\sum (n+1)x^{n+1} $
$ = \frac{d}{dx}\frac{x}{(1-x)^2} $
$ = \frac{x+1}{(1-x)^3} $
Problema vero e proprio:
$ \displaystyle f(n) = \sum_{i=0}^n i $
Da cui ricavo la relazione ricorsiva:
$ 1)\displaystyle f(n)=n+f(n-1) $ per $ \displaystyle n > 0 $
$ \displaystyle f(0)=0 $
Sia A(x) la funzione generatrice di f(n).
$ \displaystyle A(x)=\sum f(n) x^n $
Moltiplico la 1 per $ x^n $ ottenendo:
$ 2)\displaystyle f(n)x^n = (n) x^n+f(n-1)x^n $
dalla 2 deduco (sommando da 0 a infinito):
$ \displaystyle\sum f(n)x^n =A(x)-f(0)=A(x)=xA(x)+\sum nx^n $
ovvero:
$ \displaystyle A(x)=\frac{\sum nx^n}{1-x} $
$ \displaystyle = \frac{x}{(1-x)^3} $
$ \displaystyle =\frac{1}{2} (\frac{x+1}{(1-x)^3}-\frac{1}{(1-x)^2}) $
$ \displaystyle =\frac{1}{2}(\sum (n+1)^2x^n-(n+1)x^n) $
$ \displaystyle =\sum \frac{n(n+1)}{2}x^n $
Quindi $ \displaystyle f(n)= \frac{n(n+1)}{2} $
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"
Membro dell' "Associazione non dimenticatevi dei nanetti! "
Membro dell'EATO.
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C'è anche un modo carino che sfrutta una serie telescopica:
$ n^2= n^2-(n-1)^2+(n-1)^2-(n-2^2)+\dots+1-0 $
$ \displaystyle=\sum_{k=0}^{n-1}\left[(k+1)^2-k^2\right]= \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)= 2\sum_{k=0}^{n-1}k+n, $
da cui
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k=\frac{n^2-n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}, $
e quindi
$ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}. $
Tra l'altro si estende facilmente ai gradi più alti e permette di ricavare le formule che ha dato edriv, anche se forse il modo migliore per ricavarle è passare dai coefficienti binomiali (o combinaizoni di oggetti) come ha fatto Marco.
$ n^2= n^2-(n-1)^2+(n-1)^2-(n-2^2)+\dots+1-0 $
$ \displaystyle=\sum_{k=0}^{n-1}\left[(k+1)^2-k^2\right]= \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)= 2\sum_{k=0}^{n-1}k+n, $
da cui
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k=\frac{n^2-n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}, $
e quindi
$ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}. $
Tra l'altro si estende facilmente ai gradi più alti e permette di ricavare le formule che ha dato edriv, anche se forse il modo migliore per ricavarle è passare dai coefficienti binomiali (o combinaizoni di oggetti) come ha fatto Marco.
Beh, quello che si racconta sulla dimostrazione di Gauss è un ragionamento come il seguente, almeno da quello che sapevo io:
il maestro aveva dato come compito ai ragazzi sommare i primi 100 numeri naturali. Gauss allora (pare che di anni ne avesse un po' più di 6, intorno ai 10, ma ovviamente non lo sapremo mai con esattezza ) notò che se sommava 1 + 100 , poi 2 + 99 ecc... , otteneva 50 coppie che come somma davano 101. allora gli bastò moltiplicare 50 coppie (cioè n/2) per 101 (n+1) per avere 5050, somma dei primi 100 naturali.
il maestro aveva dato come compito ai ragazzi sommare i primi 100 numeri naturali. Gauss allora (pare che di anni ne avesse un po' più di 6, intorno ai 10, ma ovviamente non lo sapremo mai con esattezza ) notò che se sommava 1 + 100 , poi 2 + 99 ecc... , otteneva 50 coppie che come somma davano 101. allora gli bastò moltiplicare 50 coppie (cioè n/2) per 101 (n+1) per avere 5050, somma dei primi 100 naturali.
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C'è anche un'altra versione della leggenda, secondo la quale il compito fu dato solo a Gauss per punizione (non viene specificato per quale causa) e lui in un certo senso fregò il maestro che gliela diede.ser dark ha scritto:il maestro aveva dato come compito ai ragazzi sommare i primi 100 numeri naturali
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edriv ha scritto:Formule anche per i gradi più alti:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n i = \frac {n(n+1)} 2 $
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n i^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)} 6 $
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n i^3 = \left[\frac {n(n+1)]} 2 \right] ^2 $
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n i^4 = \frac {4n^5+15n^4+10n^3-n} {30} $
Metodo generale per ottenere $ \sum_{k=1}^{n}{k^i} $: basta trovare un polinomio di grado i+1, privo di termine noto, tale che:
$ P(x) - P(x-1) = x^i $, e quindi calcolare $ P(n) $
in quanto $ \displaystile \sum_{k=1}^{n}{k^i} = \sum_{k=1}^{n}{[P(k) - P(k-1)]} = P(n)-P(0 $), ma per ipotesi e' P(0) = 0, quindi$ \sum_{k=1}^{n}{k^i} = P(n) $
Per alcuni questo metodo e' arcinoto, ma vale sempre la pena ricordarlo ( perche e' una figata )
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