campo elettrico
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pic88
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campo elettrico
un campo elettrico è diretto lungo la direzione positiva delle x. la sorgente è nell'origine. scrivere l'equazione del moto di una particella di carica positiva con posizione iniziale $ x_{0} $. sia Q il prodotto tra la carica delle sorgente e quella della particella.
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pic88
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non dimentichiamoci che F dipende da x, ed è direttamente proporzionale al quadrato del recirpoco di x.hydro ha scritto:suppongo che la particella debba avere anche una velocità iniziale v... in caso contrario la sua traiettoria sarà un banale moto rettilineo uniformemente accelerato
di equazione $ x(t)=x_0+\frac{1}{2}*\frac{F}{m}t^2 $
Quanto alla banalità, se a velocità iniziale nulla l'equazione fosse davvero quella, allora l'equazione generale sarebbe
$ \[ x = \frac{1} {2}\frac{F} {m}t^2 + v_0 t + x_0 \] $, ugualmente banale.... purtroppo, ripeto, la forza è variabile...
Se posso dire la mia, mi sembra che ci sia un po' di confusione.
In primo luogo credo che il problema si debba interpretare così:
1) il campo è generato da una carica A puntiforme di massa molto grande
2) una carica B di massa $ m $ è posta a una certa distanza da A ed è ferma (all'inizio)
3) il prodotto delle due cariche è $ Q $
determinare la legge oraria.
Fissiamo l'origine degli assi in A e l'asse $ x $ orientato da A a B, e chiamiamo $ x_0 $ l'ascissa iniziale di B.
Per le leggi di Newton e Coulomb (la carica A non si muove):
$ m\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{Q}{x^2} $
si tratta di una equazione differenziale del secondo ordine non lineare che ha come condizioni iniziali:
$ x(0)=x_0 $
$ \frac{dx}{dt}(0)=0 $
Non conosco una soluzione analitica (in termini di funzioni semplici) di tale equazione. Forse qualcuno più esperto mi smentirà, ma anche se così fosse dubito che la soluzione sia alla portata di studi liceali.
Si può dire invece molto di più sulle caratteristiche del moto usando i principi di conservazione, ma allora si lascia necessariamente fuori il tempo dalle considerazioni.
Quello che in generale non va nelle soluzioni proposte è il modo di determinare la legge di moto, che assume implicitamente la forza elettrica costante nel tempo, salvo poi reintrodurne la dipendenza da $ x(t) $. Questo porta a una funzione quadratica di $ t $ che non è corretta.
ciao
In primo luogo credo che il problema si debba interpretare così:
1) il campo è generato da una carica A puntiforme di massa molto grande
2) una carica B di massa $ m $ è posta a una certa distanza da A ed è ferma (all'inizio)
3) il prodotto delle due cariche è $ Q $
determinare la legge oraria.
Fissiamo l'origine degli assi in A e l'asse $ x $ orientato da A a B, e chiamiamo $ x_0 $ l'ascissa iniziale di B.
Per le leggi di Newton e Coulomb (la carica A non si muove):
$ m\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{Q}{x^2} $
si tratta di una equazione differenziale del secondo ordine non lineare che ha come condizioni iniziali:
$ x(0)=x_0 $
$ \frac{dx}{dt}(0)=0 $
Non conosco una soluzione analitica (in termini di funzioni semplici) di tale equazione. Forse qualcuno più esperto mi smentirà, ma anche se così fosse dubito che la soluzione sia alla portata di studi liceali.
Si può dire invece molto di più sulle caratteristiche del moto usando i principi di conservazione, ma allora si lascia necessariamente fuori il tempo dalle considerazioni.
Quello che in generale non va nelle soluzioni proposte è il modo di determinare la legge di moto, che assume implicitamente la forza elettrica costante nel tempo, salvo poi reintrodurne la dipendenza da $ x(t) $. Questo porta a una funzione quadratica di $ t $ che non è corretta.
ciao
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
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pic88
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esattamente. anche l'equazione differenziale proposta da BMcKmas centra la questione.BMcKmas ha scritto: credo che il problema si debba interpretare così:
1) il campo è generato da una carica A puntiforme di massa molto grande
2) una carica B di massa $ m $ è posta a una certa distanza da A ed è ferma (all'inizio)
3) il prodotto delle due cariche è $ Q $
determinare la legge oraria.
Solo per chiudere in bellezza questo argomento, vorrei osservare che se è vero che la legge oraria non è algebricamente esprimibile, tuttavia lo è la legge oraria inversa, cioè $ t=t(x) $.
Infatti eguagliando la variazione di energia cinetica della particella mobile alla differenza di energia potenziale assunta dalla stessa, nel caso di velocità iniziale nulla si può scrivere: $ \diplaystyle v=\sqrt{\frac{Qq}{2\pi\epsilon m}[\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}]} $ (scusate la pedanteria, ma un vecchio elettronico come me si rifiuta di scrivere Q come prodotto di due cariche, per cui ho chiamato Q la carica fissa e q la carica mobile).
Sapendo dunque che $ \diplaystyle v=\frac{dx}{dt} $ posso anche dire che il tempo t si può ottenere dal seguente integrale (condizione iniziale $ \diplaystyle t=0 $ per $ \diplaystyle x=x_0 $):
$ \diplaystyle t=\int_0^tdt=\int_{x_0}^x\frac{dx}{\sqrt{\frac{Qq}{2\pi\epsilon m}[\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}]}} $
cioé:
$ t=\sqrt{\frac{2\pi\epsilon mx_0}{Qq}}\bigg\{\sqrt{x(x-x_0)}+x_0\log\big[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-x_0}}{\sqrt{x_0}}\big]\bigg\} $
Infatti eguagliando la variazione di energia cinetica della particella mobile alla differenza di energia potenziale assunta dalla stessa, nel caso di velocità iniziale nulla si può scrivere: $ \diplaystyle v=\sqrt{\frac{Qq}{2\pi\epsilon m}[\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}]} $ (scusate la pedanteria, ma un vecchio elettronico come me si rifiuta di scrivere Q come prodotto di due cariche, per cui ho chiamato Q la carica fissa e q la carica mobile).
Sapendo dunque che $ \diplaystyle v=\frac{dx}{dt} $ posso anche dire che il tempo t si può ottenere dal seguente integrale (condizione iniziale $ \diplaystyle t=0 $ per $ \diplaystyle x=x_0 $):
$ \diplaystyle t=\int_0^tdt=\int_{x_0}^x\frac{dx}{\sqrt{\frac{Qq}{2\pi\epsilon m}[\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}]}} $
cioé:
$ t=\sqrt{\frac{2\pi\epsilon mx_0}{Qq}}\bigg\{\sqrt{x(x-x_0)}+x_0\log\big[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-x_0}}{\sqrt{x_0}}\big]\bigg\} $
Premettendo che non so nulla di fisica, volevo far notare che all'espressione t(x) si può arrivare anche dall'equazione differenziale
$ \displaystyle{m\ddot{x}(t)=\frac{Q}{x^2(t)}} $
con un trucchetto assai utile, che quindi riporto, sperando possa servire :
moltiplichiamo entrambi i membri per la derivata prima
$ \displaystyle{m\ddot{x}(t)\dot{x}(t)=\frac{Q}{x^2(t)}\dot{x}(t)}} $
e vediamo i due membri come derivate
$ \displaystyle{\frac{m}{2}\frac{d}{dt}\dot{x}^2(t)=-Q\frac{d}{dt}\frac{1}{x(t)}} $
da cui, uguagliando a meno di costante le due espressioni derivande, si ha la nuova equazione differenziale
$ \displaystyle{\frac{m}{2}\dot{x}^2(t)=C-\frac{Q}{x(t)}} $
e questa, per separazione delle variabili e con una accurata scelta della costante C, dovrebbe portare alle formule per t(x) precedentemente scritte.
Ulteriore osservazione : questo modo di risolvere le equazioni differenziali di secondo ordine equivale, in effetti, a utilizzare la conservazione dell'energia e dunque C è proprio l'energia del sistema.
$ \displaystyle{m\ddot{x}(t)=\frac{Q}{x^2(t)}} $
con un trucchetto assai utile, che quindi riporto, sperando possa servire :
moltiplichiamo entrambi i membri per la derivata prima
$ \displaystyle{m\ddot{x}(t)\dot{x}(t)=\frac{Q}{x^2(t)}\dot{x}(t)}} $
e vediamo i due membri come derivate
$ \displaystyle{\frac{m}{2}\frac{d}{dt}\dot{x}^2(t)=-Q\frac{d}{dt}\frac{1}{x(t)}} $
da cui, uguagliando a meno di costante le due espressioni derivande, si ha la nuova equazione differenziale
$ \displaystyle{\frac{m}{2}\dot{x}^2(t)=C-\frac{Q}{x(t)}} $
e questa, per separazione delle variabili e con una accurata scelta della costante C, dovrebbe portare alle formule per t(x) precedentemente scritte.
Ulteriore osservazione : questo modo di risolvere le equazioni differenziali di secondo ordine equivale, in effetti, a utilizzare la conservazione dell'energia e dunque C è proprio l'energia del sistema.
Eh sì, è proprio vero. Ottimo. D'altra parte tutto ciò ha attinenza con quello che i fisici chiamano potenziale.
A volte mi chedo se sia stata la matematica a offrire strumenti utili per interpretare la realtà fisica, oppure se invece non siano stati i fisici, forse un po' in difficoltà con il ragionamento astratto, a personificare alcune entità matematiche dando loro dei nomi e trattandole come se fossero realtà concrete a sé stanti (come ad es. lavoro, energia, potenziale, ecc.). Comunque sia, è stata un'ottima collaborazione.
A volte mi chedo se sia stata la matematica a offrire strumenti utili per interpretare la realtà fisica, oppure se invece non siano stati i fisici, forse un po' in difficoltà con il ragionamento astratto, a personificare alcune entità matematiche dando loro dei nomi e trattandole come se fossero realtà concrete a sé stanti (come ad es. lavoro, energia, potenziale, ecc.). Comunque sia, è stata un'ottima collaborazione.
Concordo con Flaviox.
La soluzione di Evariste contiene la dimostrazione formale del teorema delle forze vive (variazione dell'energia cinetica = lavoro delle forze) che è proprio la relazione usata da Flavio per esprimere la velocità (ha usato l'integrale primo).
Al di là della soluzione del problema specifico, mi permetto di dubitare sulla premessa di Evariste relativa alle sue conoscenze di Fisica.
ciao a tutti
La soluzione di Evariste contiene la dimostrazione formale del teorema delle forze vive (variazione dell'energia cinetica = lavoro delle forze) che è proprio la relazione usata da Flavio per esprimere la velocità (ha usato l'integrale primo).
Al di là della soluzione del problema specifico, mi permetto di dubitare sulla premessa di Evariste relativa alle sue conoscenze di Fisica.
ciao a tutti
BMcKMas
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