Fattore Comune Messicano Inesistente

[Poliwhirl]

(Messico 1987) Dimostrare che $ \displaystyle n^2+n-1 $ e $ \displaystyle n^2+2n $ non hanno fattori in comune.

Bye,
#Poliwhirl#

[Giggles]

per assurdo: se esistesse una fattore comune $ k $ che li divida entrambi, allora dividerebbe anche la loro differenza, cioè $ n+1 $. Ma il primo fattore è $ n(n+1)-1 $, quindi congruo a $ -1 \pmod k $, cioè non divisibile per $ k $, il che è un assurdo. q.e.d.

[pic88]

sia $ a $ un eventaule fattor comune;
$ a $è diverso da $ n $e non divide $ n $ per motivi evidenti;
dunque $ a|n+2 $ e $ a|n^2+n-1 $ ma allora tale numero a divide anche la somma tra $ n+2 $ e $ n^2+n-1 $ allora $ a|(n+1)^2 $ dunque

$ a|n+1 $

$ a|n+2 $

impossibile per $ a \neq 1 $

[Br1]

Abbiamo i due numeri interi:
p=n²+n-1=n(n+1)-1=(n-1)(n+2)+1
q=n²+2n=n(n+2)
e vediamo subito che non possono essere entrambi pari.
Un eventuale fattore comune, quindi, dev'essere dispari.
Vediamo anche che i due fattori di q non sono mai divisibili per uno stesso
numero dispari diverso da ±1.
Pertanto, qualsiasi fattore comune a p e q deve dividere n oppure n+2,
ma le forme di p ci dicono che tale fattore dovrebbe allora dividere anche ±1.

[Boll]

Vi state tutti ingarbugliando per nulla. C'è un teorema (neanche tanto teso da dimostare) che dice che il massimo comun divisore di due numeri divide una qualsiasi combinazione lineare (in interi) dei due.

$ (n^2+2n,n^2+n-1)| n(n^2+2n)-(n+1)(n^2+n-1)=1 $
$ (n^2+2n,n^2+n-1)=1 $

[Br1]

Ottimo, Boll

In effetti, anche Pic88 e Giggles hanno utilizzato una
combinazione lineare dei due numeri.
Mi sembra comunque bello che ciascuno possa seguire
e proporre una propria via, perché ogni metodo nasconde
spesso qualcosa di istruttivo (anche di fronte a problemi
relativamente semplici come questo).
In realtà, inoltre, non mi sono proprio accorto che qualcuno
degli intervenuti si sia in qualche modo ingarbugliato.

Un po' per impegni di lavoro (e per fortuna ci sono), un po'
per il fatto che ho superato di oltre vent'anni la vostra
età e prontezza (e intelligenza), quasi sempre riesco appena
appena a leggere i testi dei problemi! Quindi è rarissimo
che mi venga subito un pezzo d'idea e che trovi due minuti
per scriverla, e quando mi capita... la posto semplicemente
senza pretese