Ancora disuguaglianze da esercitazione
Ancora disuguaglianze da esercitazione
Di seguito, un paio di disuguaglianze facili facili buone per esercitarsi...
1) Siano $ $a,b,c,d$ $ reali positivi. Dimostrare che:
$ $a^3cd + b^3da+c^3ab+d^3bc \geq (a+b+c+d)abcd$ $
2) Siano $ $x_1, x_2, x_3, x_4$ $ numeri reali positivi. Dimostrare che:
$ $\frac{x_1^2}{x_1+x_2} + \frac{x_2^2}{x_2+x_3} + \frac{x_3^2}{x_3+x_4} + \frac{x_4^2}{x_4+x_1} \geq \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{2}$ $
Questa se volete la potete generalizzare per $ $x_1, x_2, x_3 \cdots x_n$ $... non è difficile.
Buon divertimento!
1) Siano $ $a,b,c,d$ $ reali positivi. Dimostrare che:
$ $a^3cd + b^3da+c^3ab+d^3bc \geq (a+b+c+d)abcd$ $
2) Siano $ $x_1, x_2, x_3, x_4$ $ numeri reali positivi. Dimostrare che:
$ $\frac{x_1^2}{x_1+x_2} + \frac{x_2^2}{x_2+x_3} + \frac{x_3^2}{x_3+x_4} + \frac{x_4^2}{x_4+x_1} \geq \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{2}$ $
Questa se volete la potete generalizzare per $ $x_1, x_2, x_3 \cdots x_n$ $... non è difficile.
Buon divertimento!
...
Re: Ancora disuguaglianze da esercitazione
Non credo fosse questa l'applicazione banale a cui si pensava, comunque è una cosa utile, quindi la posto.
Quindi per Jensen
$ $ \sum \frac{a*f\left(\frac{b}{a}\right)}{a+b+c+d}\ge f\left(\sum \frac{b}{a+b+c+d}\right) $
$ $ \sum \frac{a^2}{b(a+b+c+d)}\ge 1 $
Moltiplicando per $ abcd(a+b+c+d) $
$ $ \sum a^3cd\ge abcd(a+b+c+d) $
q.e.d.
La funzione $ $f(x)=\frac{1}{x} $ è convessa in $ R^{+} $Ani-sama ha scritto: 1) Siano $ $a,b,c,d$ $ reali positivi. Dimostrare che:
$ $a^3cd + b^3da+c^3ab+d^3bc \geq (a+b+c+d)abcd$ $
Quindi per Jensen
$ $ \sum \frac{a*f\left(\frac{b}{a}\right)}{a+b+c+d}\ge f\left(\sum \frac{b}{a+b+c+d}\right) $
$ $ \sum \frac{a^2}{b(a+b+c+d)}\ge 1 $
Moltiplicando per $ abcd(a+b+c+d) $
$ $ \sum a^3cd\ge abcd(a+b+c+d) $
q.e.d.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
EDIT: non è simmetrica, grazie pic
Ultima modifica di snagg il 05 giu 2006, 17:28, modificato 1 volta in totale.
- pi_greco_quadro
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Quello che dici è vero pic però dal momento che $ a,b,c,d\in\mathbb R^+ $ puoi assumere tranquillamente $ a\geq b\geq c \geq d $pic88 ha scritto:la disuguaglianza non è simmetrica per cui non si può fare così. Puoi al massimo fare una permutazione fino a rendere a maggiore o uguale a tutti gli altri.snagg ha scritto:Possiamo assumere $ a^2\geq b^2 \geq c^2 \geq d^2 $
- pi_greco_quadro
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ok... visto che nessuno posta la seconda disequazione lo faccio io...
Prendiamo il caso generale in cui abbiamo $ x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb R^+ $
ora, è facile verificare che
$ \frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}=(x_1-x_2)+\frac{x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+(x_n-x_1)+\frac{x_1^2}{x_n+x_1} $$ =\frac{x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_1^2}{x_n+x_1} $
Perciò sarà sufficiente dimostrare che
$ 2\cdot\left(\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}\right)=\left(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2+x_1^2}{x_n+x_1}\right) $$ \geq x_1+\cdots+x_n $
Per $ QM^2\geq AM^2 $ abbiamo $ x_1^2+x_2^2\geq \frac{(x_1+x_2)^2}{2} $
Ovvero
$ \left(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2+x_1^2}{x_n+x_1}\right)\geq $$ \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n+x_1}{2}=x_1+\cdots+x_n $
$ Q.E.D. $
Prendiamo il caso generale in cui abbiamo $ x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb R^+ $
ora, è facile verificare che
$ \frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}=(x_1-x_2)+\frac{x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+(x_n-x_1)+\frac{x_1^2}{x_n+x_1} $$ =\frac{x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_1^2}{x_n+x_1} $
Perciò sarà sufficiente dimostrare che
$ 2\cdot\left(\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}\right)=\left(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2+x_1^2}{x_n+x_1}\right) $$ \geq x_1+\cdots+x_n $
Per $ QM^2\geq AM^2 $ abbiamo $ x_1^2+x_2^2\geq \frac{(x_1+x_2)^2}{2} $
Ovvero
$ \left(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2+x_1^2}{x_n+x_1}\right)\geq $$ \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n+x_1}{2}=x_1+\cdots+x_n $
$ Q.E.D. $
- pi_greco_quadro
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Allora mettiamola così... prendi un qualsiasi ordinamento di $ a,b,c,d $ dividi ambo i membri per $ abcd $ ed ottieni $ \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\geq a+b+c+d $ che, indipendentemente dall'ordinamento scelto è un'applicazione della disuguaglianza di riarrangiamento, ed è quindi vera.... spero di essere stato chiaro.. p.s. nn l'ho proprio vista la seconda disequazione.. mi scuso...pic88 ha scritto:la seconda disequazione era già stata postata nel terzo intervento. a parte questo non riesco a convincermi della validità di porre a>=b>=c>=dpi_greco_quadro ha scritto:ok... visto che nessuno posta la seconda disequazione lo faccio io...
In alternativa moltiplichi ambo i membri sopra per (a+b+c+d) ed ottieni
$ (a+b+c+d)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a})\geq (a+b+c+d)^2 $ che è vera per Cauchy senza appello questa volta
Credo di aver capito:
in qualsiasi modo siano ordinati $ a,b,c,d $,il modo "peggiore" di accoppiare $ a^2 , b^2 , c^2 , d^2 $ e $ \frac{1}{a} , \frac{1}{b} , \frac{1}{c} , \frac{1}{d} $ è,per forza di cose, $ a^2 $ con $ \frac{1}{a} $ , $ b^2 $ con $ \frac{1}{b} $ ... quindi,anche senza porre $ a \geq b \geq c \geq d $,i quattro termini avranno un ordinamento,per cui la somma è sempre minima in quel caso.
in qualsiasi modo siano ordinati $ a,b,c,d $,il modo "peggiore" di accoppiare $ a^2 , b^2 , c^2 , d^2 $ e $ \frac{1}{a} , \frac{1}{b} , \frac{1}{c} , \frac{1}{d} $ è,per forza di cose, $ a^2 $ con $ \frac{1}{a} $ , $ b^2 $ con $ \frac{1}{b} $ ... quindi,anche senza porre $ a \geq b \geq c \geq d $,i quattro termini avranno un ordinamento,per cui la somma è sempre minima in quel caso.
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
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- pi_greco_quadro
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quello che dice thematrix è corretto ed è esattamente quello che intendevo io.... dal momento che $ a,b,c,d\in\mathbb R^+ $, allora, dato un qualsiasi ordinamento (pongo ad ESEMPIO $ b^2\geq d^2\geq a^2 \geq c^2 $ ma qualsiasi altro ordinamento porta alla stessa conclusione) da cui ricavo, proprio perché tutti reali positivi (se così non fosse dovrei stare più attento ) $ \frac{1}{c}\geq\frac{1}{a}\geq\frac{1}{d}\geq\frac{1}{b} $.
Ora, la disuguaglianza di riarrangiamento mi dice che date due n-uple il modo peggiore di accoppiarle è moltiplicare il più grande $ a_i $ con il più piccolo $ b_i $ e così via, che guarda caso porta proprio a $ a+b+c+d $....
Ci tengo a spiegarlo perché con Cauchy è già meno banale la risoluzione però sembra più sicura ed affidabile (io l'ho risolta con Cauchy infatti), però regge anche il riarrangiamento, anche se me ne sono convinto dopo un bel pò che ci ho riflettuto su e ho chiesto pareri in giro.... questo è tutto... alla prox...
Ora, la disuguaglianza di riarrangiamento mi dice che date due n-uple il modo peggiore di accoppiarle è moltiplicare il più grande $ a_i $ con il più piccolo $ b_i $ e così via, che guarda caso porta proprio a $ a+b+c+d $....
Ci tengo a spiegarlo perché con Cauchy è già meno banale la risoluzione però sembra più sicura ed affidabile (io l'ho risolta con Cauchy infatti), però regge anche il riarrangiamento, anche se me ne sono convinto dopo un bel pò che ci ho riflettuto su e ho chiesto pareri in giro.... questo è tutto... alla prox...