Balkan 1992

[enomis_costa88]

Provare la seguente sugli interi positivi

$ (2n^2+3n+1)^n \ge 6^n(n!)^2 $

Visto che non è difficile (ed è anche piuttosto carina) sarebbe bello se gli espertoni aspettassero un po' per lasciare a tutti il tempo di risolverla

[pic88]

basta vedere che n^2(n^2-1)>=0 per ogni n naturale, aggiungere ad ambo i membri
3n^4+ 6n^3 +3n^2, dividere per 6, estrarre la radice quadrata.
si ha che il secondo membro è la media aritmetica dei primi n numeri, ed è maggiore della radice n-esima di n! . Primo membro>=secondo membro > =radice n-esima di n!. si elevi alla 2n e si otterrà la tesi.

[Br1]

Poiché:

$ (n!)^2 = 1^2\cdot2^2\cdot 3^2 \cdots n^2 $

ho senz'altro (per la nota disuguaglianza AM-GM):

$ \left[\frac{1}{n} \cdot \left(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\right)\right]^n \ge (n!)^2 $

ossia:

$ \left[\frac{1}{n}\cdot \frac{n\cdot (n+1)\cdot(2n+1)}{6}\right]^n=\left[\frac{(n+1)\cdot(2n+1)}{6}}\right]^n = \left(\frac{2n^2+3n+1}{6}}\right)^n \ge (n!)^2 $

che equivale alla disuguaglianza proposta.

[edriv]

bellissima!

[enomis_costa88]

ok ok BR1 ..è la mia stessa idea carina no?

Pic88 non ho bene capito cosa intendi (probabilmente hai saltato qualche passaggio o sono io troppo addormentato )..

basta vedere che n^2(n^2-1)>=0 per ogni n naturale, aggiungere ad ambo i membri
3n^4+ 6n^3 +3n^2, dividere per 6, estrarre la radice quadrata.
si ha che il secondo membro è la media aritmetica dei primi n numeri, ed è maggiore della radice n-esima di n! .

$ \sqrt{\frac{n^2(n^2-1)+3n^4+ 6n^3 +3n^2}{6}} $ $ \ge $ $ \sqrt{\frac{3n^4+ 6n^3 +3n^2}{6}} $ = $ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i $
se intendi così non mi torna..infatti l'ultimo passaggio è sbagliato (basta sostituire n=1 per verificare).

[Ani-sama]

Io sono quasi riuscito a farla inducendo ma mi manca un tassello importante... Se mi viene in futuro metto la soluzione...

[piever]

Io sono quasi riuscito a farla inducendo ma mi manca un tassello importante... Se mi viene in futuro metto la soluzione...

Hai ragione: si può fare anche con l'induzione:

bisogna dimostrare che $ \frac{{(n+2)}^{n+1}{(2n+3)}^{n+1}}{{(n+1)}^n{(2n+1)}^n} \geq 6(n+1)^2 $ ovvero che $ {(n+2)}^{n+1}{(2n+3)}^{n+1} \geq 6 {(n+1)}^{n+2}{(2n+1)}^n $ che si dimostra a sua volta per induzione!!!
Infatti ci resta da dimostrare che $ \frac {(n+3)^{n+2}(2n+5)^{n+2}} {(n+2)^{n+1}(2n+3)^{n+1}} \geq \frac {6 {(n+2)}^{n+3}{(2n+3)}^{n+1}}{6 {(n+1)}^{n+2}{(2n+1)}^n} $ che semplificando diventa $ (n+3)^{n+2}(2n+5)^{n+2} \geq \frac {{(n+2)}^{2}}{{(n+1)}^{n+2}{(2n+1)}^n} $ e si vede a occhio che è vera con ogni $ n $ intero positivo.

Ma forse il metodo di Br1 è più rapido...

[Ani-sama]

Io ci sono riuscito, ma ci ho messo ANCORA di più e ho dovuto indurre due volte all'interno della proof... appena finisco di studiare LEopardi la scrivo, comunque in mezzo alla mia dimostrazione c'è un risultatino intermedio piuttosto carino...

EDIT

Va beh, Leopardi aspetterà (c'è una notte intera!), ma adesso ho voglia di scrivere la dimostrazione. Cominciamo:


Lemma 1

$ n^n \geq {(n+1)}^{n-1}, n \in \mathbb{N} $ (è questo il risultato carino di cui dicevo... )

DIMOSTRAZIONE:

Procedo per induzione:

1) Passo iniziale, $ n=1 $: $ 1^1 \geq 2^0 $, verificato.

2) Passo induttivo. Ricordando il binomio di Newton, scriviamo la tesi come:

$ (n+1)n^n \geq {(n+1)}^n $

$ \displaystyle (n+1)n^n \geq {n \choose 0}n^n + {n \choose 1}n^{n-1}+ \cdots + {n \choose n}1^n $

Ora induciamo:

$ \displaystyle (n+2){(n+1)}^{n+1} \geq {n+1 \choose 0}{(n+1)}^{n+1} + {n+1 \choose 1}{(n+1)}^n + \cdots $

Per le proprietà dei binomiali, abbiamo che $ \displaystyle{n+1 \choose 0}=1 $ e che $ \displaystyle{n+1 \choose 1}=n+1 $. Dunque, operando in tal modo e portando a sinistra otteniamo:

$ \displaystyle n{(n+1)}^{n+1} \geq {n+1 \choose 2}{(n+1)}^{n-1} + \cdots $

Adesso svolgiamo ancora la potenza di binomio a sinistra, ottenendo:

$ \displaystyle n\left[ {n+1 \choose 0}n^{n+1} + {n+1 \choose 1}n^n + {n+1 \choose 2}n^{n-1} + \cdots \right] $ $ \displaystyle \geq {n+1 \choose 2}{(n+1)}^{n-1} + \cdots $

Ora svolgiamo l'espressione, distribuendo il fattore $ n $ raccolto a sinistra, e portiamo a sinistra gli altri elementi, raccogliendo:

$ \displaystyle{n+1 \choose 0}n^{n+2}+ {n+1 \choose 1}n^{n+1} + {n+1 \choose 2}\left[ n^n - {(n+1)}^{n-1}\right] + \cdots $, il tutto maggiore o uguale a zero.

Ora occupiamoci dell'espressione ottenuta: i primi due elementi sono sicuramente maggiori o uguali a zero, per l'ipotesi dell'insieme di appartenenza della variabile; il terzo elemento è sicuramente positivo o pari a zero, in quanto, inducendo, abbiamo posto come vero che $ n^n \geq {(n+1)^{n-1} $. Anche gli altri elementi sono tutti maggiori o uguali a zero, infatti essi sono tutti del tipo: preso un qualunque $ k \in \mathbb{N} $ tale che $ 0 < k < n $:

$ \displaystyle n^{n-k} - {(n+1)}^{n-1-k} = \frac{1}{n^k}n^n - \frac{1}{{(n+1)}^k}{(n+1)}^{n-1} \geq 0 $

Ma, per ovvie ragioni, il coefficiente che moltiplica il primo addendo è maggiore del coefficiente che moltiplica il secondo, quindi, ancora banalmente per una proprietà basilare delle diseguaglianze, quelle espressioni sono maggiori o uguali a zero per qualunque valore di $ k $. Ora, siccome tutti gli elementi dell'espressione sono maggiori o uguali a zero, l'espressione tutta è maggiore o uguale a zero e la tesi è provata per induzione.


Teorema

Dimostrare che:

$ \displaystyle {(2n^2+3n+1)}^n \geq 6^n{(n!)}^2 $

Ragiono per induzione.

1) Passo iniziale, $ n=1 $. Si verifica rapidamente che $ 2+3+1 \geq 6 \cdot 1 $.

2) Passo induttivo, $ n \Rightarrow n+1 $. Otteniamo, svolgendo qualche rapido calcolo:

$ {(2n^2+7n+6)}^{n+1} \geq 6^{n+1} \cdot {[(n+1)!]}^2 $

Riscriviamo l'espressione come:

$ {(2n^2+7n+6)}^n (2n^2+7n+6) \geq 6 \cdot 6^n \cdot {(n+1)}^2 \cdot {(n!)}^2 $

Ora, per poter continuare nella proof, dobbiamo introdurre il


Lemma 2

$ {(2n^2+7n+6)}^{n+1} \geq {(2n^2+3n+1)}^n (6n^2+12n+6) $

Scriviamo la tesi in questo modo:

$ {(2n+3)}^{n+1}{(n+2)}^{n+1} \geq 6{(n+1)}^{n+2} {(2n+1)}^n $

Adesso moltiplichiamo ambo i membri per $ (2n+1) $ e riscriviamo ancora la tesi in questo modo:

$ {(2n+3)}^{n+1}{(n+2)}^{n+1}(2n+1) \geq 3{(n+1)}^{n+2} 2{(2n+1)}^{n+1} $

Ora, per dimostrare la tesi, dimostriamo che valgono le disuguaglianze che otteniamo studiando particolari combinazioni degli elementi in gioco.


Lemma 2.1

$ (2n+1){(n+2)}^{n+1} \geq 3{(n+1)}^{n+2} $

Scriviamo l'espressione in questo modo:

$ (2n+1){(n+1 + 1)}^{n+1} \geq 3{(n+1)}^{n+1}(n+1) $

Ora svolgiamo le potenze dei binomi, con Newton; otteniamo:

$ \displaystyle (2n+1) {n+1 \choose 0}{(n+1)}^{n+1} + {n+1 \choose 1}{(n+1)}^n + \cdots $$ \geq (3n+3){(n+1)}^{n+1} $

A questo punto, grazie alle proprietà dei binomiali sopra citate, possiamo arrivar, raccogliendo dove possibile, a:

$ (4n+2){(n+1)}^{n+1} + \cdots \geq (3n+3){(n+1)}^{n+1} $

Tale espressione è sempre verificata nei naturali e il lemma è dimostrato.


Lemma 2.2

$ {(2n+3)}^{n+1} \geq 2{(2n+1)}^{n+1} $

Scriviamo la tesi in questo modo:

$ {(2n+1 + 2)}^{n+1} \geq 2{(2n+1)}^{n+1} $

Ora svolgiamo la potenza di binomio del membro sinistro e operiamo sull'espressione, ricordando le proprietà dei binomiali:

$ {(2n+1)}^{n+1} + {(2n+1)}^{n+1} + {(2n+1)}^n + \cdots $$ \geq 2{(2n+1)}^{n+1} $

La disuguaglianza ottenuta è sempre vera nei naturali e il lemma è dimostrato.


Dunque, per le due dimostrazioni precedenti, segue direttamente la prova per il Lemma 2.


Tornando al teorema

Adesso possiamo scrivere il passo induttivo in questo modo, ricordando quanto appena ottenuto:

$ {(2n^2+7n+6)}^{n+1} \geq $$ {(2n^2+3n+1)}^n(6n^2+12n+6) \geq 6 \cdot 6^n \cdot {(n+1)}^2 \cdot {(n!)}^2 $

Ci occupiamo della diseguaglianza tra le ultime due espressioni. Ricordando l'ipotesi induttiva del teorema, abbiamo che, sicuramente: $ {(2n^2+3n+1)}^n \geq {(2n^2+3n+1)}^n \geq 6^n \cdot {(n!)}^2 $. Ci resta solo da verificare che $ 6n^2+12n+6 \geq 6{(n+1)}^2 $. Ma questa è chiaramente un'identità, dunque la diseguaglianza larga è verificata...

...e la tesi (quella finale, sì) è provata. Per induzione, sì.

[Br1]

ok ok BR1 ..è la mia stessa idea carina no?

...sì, è proprio carina e mi è piaciuta anche quella introdotta da
Ani-sama con il Lemma 1 della sua (molto interessante) dimostrazione.
Quando ho visto il lemma mi è venuta in mente questa giustificazione.
Ricopio la disuguaglianza:

$ n^n\ge(n+1)^{n-1}, n\in \mathbb{N} $.

Per n=1 ed n=2 vediamo che è verificata.
Per n>2, grazie a una nota limitazione, possiamo senz'altro stabilire:

$ n\ge 3>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1} $

quindi:

$ n>\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n-1} $

da cui otteniamo subito: $ n^n>(n+1)^{n-1} $.

Salvo sciocchezze, naturalmente...

[Ani-sama]

...sì, è proprio carina e mi è piaciuta anche quella introdotta da
Ani-sama con il Lemma 1 della sua (molto interessante) dimostrazione.
Quando ho visto il lemma mi è venuta in mente questa giustificazione.
Riscrivo la disuguaglianza:

$ n^n\ge(n+1)^{n-1}, n\in \mathbb{N} $.

Per n=1 ed n=2 vediamo che è verificata.
Per n>2, grazie a una nota limitazione, possiamo senz'altro stabilire:

$ n\ge 3>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1} $

quindi:

$ n>\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n-1} $

da cui otteniamo subito: $ n^n>(n+1)^{n-1} $.

Salvo sciocchezze, naturalmente...

Più che "molto interessante" direi "chilometrica"

Molto carina ed elegante piuttosto questa dimostrazione del mio lemmino, ti eviti un'induzione non propriamente breve... Piuttosto, ho provato a riscrivere l'espressione, in questo modo:

$ \displaystyle n+1 \geq {\left(1+ \frac{1}{n}\right)}^n $

Così si mette anche in evidenza la famosa successione...

[Ani-sama]

EDIT per la dimostrazione sopra: ho corretto un erroraccio e ho riformulato il Lemma 2...