triangolini quadrati

[enomis_costa88]

Sia considerato un triangolo equilatero di lato $ n $.
Lo divido in $ n^2 $ triangolini equilateri di lato uno.
Sui vertici di ciascun triangolino scrivo uno 0 tranne sui vertici del triangolo grosso e sul punto medio della terza fila nei quali scrivo 1.
Posso prendere due triangoli confinanti per un lato e aumentare o diminuire di uno il valore scritto in tutti e quattro i vertici dei due triangoli.
Per quali valori di $ n $ posso arrivare ad avere 0 in tutti i vertici?

Buon lavoro, Simone.

[pic88]

e sul punto medio della terza fila

qual è la terza fila?

[enomis_costa88]

qual è la terza fila?

Il triangolo equilatero è diviso in $ n^2 $ triangolini di lato 1 tracciando dei segmenti paralleli ai lati.
Il quarto punto inizialmente contrassegnato con 1 è il punto medio della terza fila partendo "dall'alto".
La prima fila è costituita dal solo vertice del triangolo grosso, la seconda fila è costituita dalla base di un triangolino e la terza fila dalla base di due triangolini.
Se non si capisce ancora chiedi pure.

[Marco]

La figura dovrebbe essere questa (n=5)

....1........
...0 0......
..0 1 0....
.0 0 0 0..
1 0 0 0 1

E' un bel problema. Chi ci prova?

[Hammond]

come non detto

[piever]

Allora, tentativo di soluzione:

funziona se e solo se n è dispari (considero ovviamente solo gli n>1).

a) con ogni n dispari funziona:
con n=3 si riesce a risolvere in 5 passaggi e, se funziona con n=X, allora funziona anche con n=x+2. Infatti si può arrivare a un punto in cui ci sono solo 0, tranne i due estremi della terzultima riga (che valgono -1) e i due estremi dell’ultima riga che valgono 1: si eliminano con 2 passaggi abbastanza banali per ciascun lato.


EDIT= Cancello la parte B in quanto fa veramente pena come dimostrazione.

[enomis_costa88]

b)Se con n=4 si potesse rendere 0 tutti i vertici, allora sarebbe possibile farlo anche con n=2. Siccome con n=2 è impossibile, allora è impossibile anche con n=4 e con tutti gli n pari.

e dove/come dimostri questo pezzo? Comunque il claim è giusto,funziona solo per n dispari..adesso aspetto la tua dimostrazione
un piccolo aiutino ino ino banalissimo trovate l'invariante giusto..

[piever]

Folgorazione delle ore 15:36=

b) con ogni n pari non funziona: la differenza tra la somma di tutti i vertici delle file pari e la somma di tutti i vertici delle file dispari non varia in quanto ogni paralllelogrammino ha due vertici su file pari e due vertici su file dispari. Se n è pari la differenza tra la somma di tutti i vertici delle file pari e la somma di tutti i vertici delle cifre dispari è 4, quindi è impossibile che si arrivi a soli 0 in quanto in quel caso la differenza alla fine sarebbe 0.

P.S.=Grazie per il suggerimento