successione simpatica
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- FrancescoVeneziano
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Giacchè mi sembra facile (non sarà che sto sbagliando qualcosa?) intanto dimostro che i valori di a_n, per a_n arbitrariamente grandi, convergono ad un qualche valore compreso tra 1 e (a+1)/2.
<BR>l\'approsimazione ovviamente può essere migliorata...
<BR>
<BR>Dunque
<BR>
<BR>Se ho ben capito l\'enne+unesimo termine è la media aritmetica dei due precedenti termini.
<BR>
<BR>Sulla retta dei numeri la media aritmetica corrisponde alla metà della distanza che c\'è tra i due numeri e quindi è minore del numero-termine maggiore di cui si sta calcolando la media e maggiore di quello minore.
<BR>
<BR>Si può quindi dire che si succederanno sempre valori di a_n+1 minori del maggiore fra i due termini di cui si calcola la media (che poi è appunto a_n+1)
<BR>ma anche maggiori del minore fra i due termini di cui si calcola la media ( vedi parentesi sopra).
<BR>
<BR>E quindi compresi tra 1 e (a+1)/2
<BR>
<BR>QED
<BR>
<BR>Vista l\'ora è il meglio che potessi fare...
<BR>
<BR>Bye
<BR>
<BR>
<BR>l\'approsimazione ovviamente può essere migliorata...
<BR>
<BR>Dunque
<BR>
<BR>Se ho ben capito l\'enne+unesimo termine è la media aritmetica dei due precedenti termini.
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<BR>Sulla retta dei numeri la media aritmetica corrisponde alla metà della distanza che c\'è tra i due numeri e quindi è minore del numero-termine maggiore di cui si sta calcolando la media e maggiore di quello minore.
<BR>
<BR>Si può quindi dire che si succederanno sempre valori di a_n+1 minori del maggiore fra i due termini di cui si calcola la media (che poi è appunto a_n+1)
<BR>ma anche maggiori del minore fra i due termini di cui si calcola la media ( vedi parentesi sopra).
<BR>
<BR>E quindi compresi tra 1 e (a+1)/2
<BR>
<BR>QED
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<BR>Vista l\'ora è il meglio che potessi fare...
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<BR>Bye
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<BR>
Prendiamo la successione
<BR>
<BR>b[n] = b[n-1] + 2 b[n-2]
<BR>
<BR>con b[1]=b[2]=1
<BR>
<BR>avremo
<BR>a[n] = ( b[n] a + b[n-1] ) / ( 2^(n-1))
<BR>
<BR>sciogliendo la successione
<BR>b[n]= 1/3 [ 2^n - (-1)^n]
<BR>
<BR>dunque
<BR>lim(n->inf) a[n] = (2a+1)/3
<BR>
<BR>controllate i passaggi perché i conti non sono il mio forte...
<BR>
<BR>
<BR>b[n] = b[n-1] + 2 b[n-2]
<BR>
<BR>con b[1]=b[2]=1
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<BR>avremo
<BR>a[n] = ( b[n] a + b[n-1] ) / ( 2^(n-1))
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<BR>sciogliendo la successione
<BR>b[n]= 1/3 [ 2^n - (-1)^n]
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<BR>dunque
<BR>lim(n->inf) a[n] = (2a+1)/3
<BR>
<BR>controllate i passaggi perché i conti non sono il mio forte...
<BR>
Ok, il risultato è questo jack, ma ci sono arrivato con un metodo un po\' più diretto e brutale..
<BR>Consideriamo la successione, si ricava (con un metodo che non ho voglia di spiegare, e che si trova sulle dispense olimpiche) che
<BR>a_n = (2a+1)/3 + (a-1)/3*(-1/2)^n, per cui, per n che tende ad infinito, a_n tende a (2a+1)/3.
<BR>Consideriamo la successione, si ricava (con un metodo che non ho voglia di spiegare, e che si trova sulle dispense olimpiche) che
<BR>a_n = (2a+1)/3 + (a-1)/3*(-1/2)^n, per cui, per n che tende ad infinito, a_n tende a (2a+1)/3.
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2002-12-09 22:50, alefig wrote:
<BR>Ok, dai, questo era facile...
<BR>Questo è un po\' più difficile, ma neanche troppo:
<BR>sia
<BR>a(1)=a
<BR>a(n+1)=a(n)/2 + a(n)^2.
<BR>Trovare, se esiste, lim per n-->+inf.
<BR>Good luck!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>
<BR>Qualcuno ha qualche idea??????
<BR>On 2002-12-09 22:50, alefig wrote:
<BR>Ok, dai, questo era facile...
<BR>Questo è un po\' più difficile, ma neanche troppo:
<BR>sia
<BR>a(1)=a
<BR>a(n+1)=a(n)/2 + a(n)^2.
<BR>Trovare, se esiste, lim per n-->+inf.
<BR>Good luck!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>Qualcuno ha qualche idea??????
Un consiglio per Jack202:controlla bene tutti i casi, sia positivi che negativi!
<BR>Ciao,
<BR>Alessio
<BR>
<BR>
<BR>p.s. Azarus, guarda che ci conosciamo: l\'ultima volta che ci siamo visti è stato quando hai portato a Francesco i testi delle olimpiadi alla mensa della Normale e ci siamo messi a parlare con Lucio.
<BR>
<BR>Ciao,
<BR>Alessio
<BR>
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<BR>p.s. Azarus, guarda che ci conosciamo: l\'ultima volta che ci siamo visti è stato quando hai portato a Francesco i testi delle olimpiadi alla mensa della Normale e ci siamo messi a parlare con Lucio.
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