Il 9000 fatto a pezzi (Cesenatico squadre 2000)
Il 9000 fatto a pezzi (Cesenatico squadre 2000)
In quanti modi si può scrivere $ 9000 $ come somma di almeno due interi consecutivi (ad esempio per $ 9 $ si hanno $ 2 $ possibilità: $ 9=2+3+4, 9=4+5 $)?
...
Correggo la mia soluzione:
Considero prima il caso in cui il numero di termini consecutivi sia dispari: esprimendo in funzione del termine centrale x gli altri numeri si ha
$ 9000 = (x+k) + ... + x + ... + (x-k) = (2k+1)x $
Ora i divisori dispari di $ 9000 = 2^3 3^2 5^3 $ sono tutti i divisori di $ 3^2 5^3 $, pari a $ (2+1)(3+1) = 12 $.
Non bisogna però considerare il divisore 1 perchè per ipotesi 9000 deve essere espresso come somma di almeno 2 numeri, nè i divisori maggiori di 135 in quanto ci devono essere solo interi positivi consecutivi, per cui $ k\leq n = \frac{9000}{2k+1} $ e dalla diseguaglianza risulta $ k < 67 \rightarrow 2k + 1 <135 $. Restano quindi solo 8 divisori validi.
Considero infine quando c'è un numero pari $ p $ di termini. Anzitutto, per una questione di parità, $ p = 4h $. Inoltre $ h \geq 4 $, perchè i termini devono essere simmetrici rispetto alla media dei due numeri centrali.
Contando i divisori dispari di 9000, ci sono 12 casi possibili. Di essi devo contare solo quelli in cui compaiono solo interi positivi, in totale 3 (già con 15 non va bene).
La soluzione è dunque 11.
Considero prima il caso in cui il numero di termini consecutivi sia dispari: esprimendo in funzione del termine centrale x gli altri numeri si ha
$ 9000 = (x+k) + ... + x + ... + (x-k) = (2k+1)x $
Ora i divisori dispari di $ 9000 = 2^3 3^2 5^3 $ sono tutti i divisori di $ 3^2 5^3 $, pari a $ (2+1)(3+1) = 12 $.
Non bisogna però considerare il divisore 1 perchè per ipotesi 9000 deve essere espresso come somma di almeno 2 numeri, nè i divisori maggiori di 135 in quanto ci devono essere solo interi positivi consecutivi, per cui $ k\leq n = \frac{9000}{2k+1} $ e dalla diseguaglianza risulta $ k < 67 \rightarrow 2k + 1 <135 $. Restano quindi solo 8 divisori validi.
Considero infine quando c'è un numero pari $ p $ di termini. Anzitutto, per una questione di parità, $ p = 4h $. Inoltre $ h \geq 4 $, perchè i termini devono essere simmetrici rispetto alla media dei due numeri centrali.
Contando i divisori dispari di 9000, ci sono 12 casi possibili. Di essi devo contare solo quelli in cui compaiono solo interi positivi, in totale 3 (già con 15 non va bene).
La soluzione è dunque 11.
Ultima modifica di sqrt2 il 02 mag 2006, 18:47, modificato 7 volte in totale.
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Sia $ a_1 $ il primo termine della progressione aritmetica, e L la lunghezza della progressione.
La somma dei termini della progressione aritmetica è data da
$ \displaystyle S=a_1 \cdot l + \frac {l(l-1)}{2} $, perciò
$ \displaystyle l(a_1+\frac{l-1}{2})=9000 $, da cui si ricava che, dovendo l-1 essere pari, l è dispari ed inoltre divisore di 9000.
Risulta poi essere $ a_1=\frac{18000-l(l-1)}{2l} $, da cui si ha che l è minore di 135 (il numeratore deve essere positivo).
Pertanto i casi possibili, tra i 12 divisori dispari di 9000, sono solo
3,5,9,15,25,45 e 75: perciò 7 casi.
Ciao!
La somma dei termini della progressione aritmetica è data da
$ \displaystyle S=a_1 \cdot l + \frac {l(l-1)}{2} $, perciò
$ \displaystyle l(a_1+\frac{l-1}{2})=9000 $, da cui si ricava che, dovendo l-1 essere pari, l è dispari ed inoltre divisore di 9000.
Risulta poi essere $ a_1=\frac{18000-l(l-1)}{2l} $, da cui si ha che l è minore di 135 (il numeratore deve essere positivo).
Pertanto i casi possibili, tra i 12 divisori dispari di 9000, sono solo
3,5,9,15,25,45 e 75: perciò 7 casi.
Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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Vedo ora la soluzione di sqrt2: stavo contemporaneamente postando la mia...
La cosa mi fa sorgere un dubbio: gli interi devono essere positivi? Perchè così sembrava dall'esempio di Ani-Sama...
Ciao a tutti!
La cosa mi fa sorgere un dubbio: gli interi devono essere positivi? Perchè così sembrava dall'esempio di Ani-Sama...
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Interi positivi, sì.
La mia soluzione è assimilabile a quella di sqrt2, anche se parecchio meno elegante... l'uovo di colombo è chiaramente quello di esprimere i numeri consecutivi in quel modo, con una sola perplessità che mi rimane: nel modo in cui li disponi ("in funzione del termine centrale") presupponi che siano dispari... se fossero pari scrivere $ (2k+1)x $ non è più valido, dico bene?
Vi posto anche la mia soluzione...
Prendiamo gli $ n $ numeri consecutivi come $ x, x+1, x+2, \cdots $, abbiamo che:
$ \displaystyle nx + \frac{n(n-1)}{2}=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3 $
Ora, banalmente, il nostro $ x $ deve essere intero, e quindi $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $, diviso per $ n $ (che immaginiamo di raccogliere a fattor comune) deve pure essere intero. Si ha dunque che $ \displaystyle \frac{n-1}{2} $ deve essere intero, e quindi $ n $ deve essere dispari. A questo punto calcoliamo i divisori dispari di $ 9000 $, che sono $ (2+1)(3+1)=12 $, da cui togliamo $ 1 $, ottenendo il risultato.
La mia soluzione è assimilabile a quella di sqrt2, anche se parecchio meno elegante... l'uovo di colombo è chiaramente quello di esprimere i numeri consecutivi in quel modo, con una sola perplessità che mi rimane: nel modo in cui li disponi ("in funzione del termine centrale") presupponi che siano dispari... se fossero pari scrivere $ (2k+1)x $ non è più valido, dico bene?
Vi posto anche la mia soluzione...
Prendiamo gli $ n $ numeri consecutivi come $ x, x+1, x+2, \cdots $, abbiamo che:
$ \displaystyle nx + \frac{n(n-1)}{2}=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3 $
Ora, banalmente, il nostro $ x $ deve essere intero, e quindi $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $, diviso per $ n $ (che immaginiamo di raccogliere a fattor comune) deve pure essere intero. Si ha dunque che $ \displaystyle \frac{n-1}{2} $ deve essere intero, e quindi $ n $ deve essere dispari. A questo punto calcoliamo i divisori dispari di $ 9000 $, che sono $ (2+1)(3+1)=12 $, da cui togliamo $ 1 $, ottenendo il risultato.
Ultima modifica di Ani-sama il 02 mag 2006, 15:52, modificato 1 volta in totale.
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Anzitutto si osservi che, per una questione di parità, il numero di interi consecutivi deve essere dispari.
In realtà un risultato non proprio ovvio ma facilissimo da dimostrare garantisce che un numero può essere scomposto in somme di n (n dispari) numeri consecutivi sse è divisibile per quell'n. E fin qui vanno benissimo tutte le considerazioni fatte.se fossero pari scrivere 2k+1 non è più valido, dico bene?
Inoltre però si può scomporre anche in somme di m (m pari) numeri consecutivi sse diviso per quell'm dà resto m/2. In effetti si può anche scrivere, perchè no?,
...(x-3/2) + (x-1/2) + (x+1/2) + (x+3/2)...
Nel nostro caso, ad esempio, 9000/16 = 562.5 ed effettivamente la somma
555+556+557+...+570, di 16 termini, ha come risultato 9000.
Dunque ai 12 divisori dispari vanno aggiunte altre 12 possibilità ottenute moltiplicando tali divisori per 12. Dopodichè si fa un controllo (perchè i numeri devono essere interi positivi bisogna scartare i casi in cui non tutti lo siano) e il risultato dovrebbe essere giusto.