Il 9000 fatto a pezzi (Cesenatico squadre 2000)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Ani-sama
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Il 9000 fatto a pezzi (Cesenatico squadre 2000)

Messaggio da Ani-sama » 01 mag 2006, 21:24

In quanti modi si può scrivere $ 9000 $ come somma di almeno due interi consecutivi (ad esempio per $ 9 $ si hanno $ 2 $ possibilità: $ 9=2+3+4, 9=4+5 $)?
...

sqrt2
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Messaggio da sqrt2 » 01 mag 2006, 22:01

Correggo la mia soluzione:

Considero prima il caso in cui il numero di termini consecutivi sia dispari: esprimendo in funzione del termine centrale x gli altri numeri si ha
$ 9000 = (x+k) + ... + x + ... + (x-k) = (2k+1)x $
Ora i divisori dispari di $ 9000 = 2^3 3^2 5^3 $ sono tutti i divisori di $ 3^2 5^3 $, pari a $ (2+1)(3+1) = 12 $.
Non bisogna però considerare il divisore 1 perchè per ipotesi 9000 deve essere espresso come somma di almeno 2 numeri, nè i divisori maggiori di 135 in quanto ci devono essere solo interi positivi consecutivi, per cui $ k\leq n = \frac{9000}{2k+1} $ e dalla diseguaglianza risulta $ k < 67 \rightarrow 2k + 1 <135 $. Restano quindi solo 8 divisori validi.

Considero infine quando c'è un numero pari $ p $ di termini. Anzitutto, per una questione di parità, $ p = 4h $. Inoltre $ h \geq 4 $, perchè i termini devono essere simmetrici rispetto alla media dei due numeri centrali.
Contando i divisori dispari di 9000, ci sono 12 casi possibili. Di essi devo contare solo quelli in cui compaiono solo interi positivi, in totale 3 (già con 15 non va bene).

La soluzione è dunque 11.
Ultima modifica di sqrt2 il 02 mag 2006, 18:47, modificato 7 volte in totale.

darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 01 mag 2006, 22:05

Sia $ a_1 $ il primo termine della progressione aritmetica, e L la lunghezza della progressione.
La somma dei termini della progressione aritmetica è data da
$ \displaystyle S=a_1 \cdot l + \frac {l(l-1)}{2} $, perciò
$ \displaystyle l(a_1+\frac{l-1}{2})=9000 $, da cui si ricava che, dovendo l-1 essere pari, l è dispari ed inoltre divisore di 9000.
Risulta poi essere $ a_1=\frac{18000-l(l-1)}{2l} $, da cui si ha che l è minore di 135 (il numeratore deve essere positivo).
Pertanto i casi possibili, tra i 12 divisori dispari di 9000, sono solo
3,5,9,15,25,45 e 75: perciò 7 casi.

Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

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darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 01 mag 2006, 22:14

Vedo ora la soluzione di sqrt2: stavo contemporaneamente postando la mia...
La cosa mi fa sorgere un dubbio: gli interi devono essere positivi? Perchè così sembrava dall'esempio di Ani-Sama...

Ciao a tutti!
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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama » 02 mag 2006, 00:03

Interi positivi, sì.

La mia soluzione è assimilabile a quella di sqrt2, anche se parecchio meno elegante... l'uovo di colombo è chiaramente quello di esprimere i numeri consecutivi in quel modo, con una sola perplessità che mi rimane: nel modo in cui li disponi ("in funzione del termine centrale") presupponi che siano dispari... se fossero pari scrivere $ (2k+1)x $ non è più valido, dico bene?


Vi posto anche la mia soluzione...

Prendiamo gli $ n $ numeri consecutivi come $ x, x+1, x+2, \cdots $, abbiamo che:

$ \displaystyle nx + \frac{n(n-1)}{2}=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3 $

Ora, banalmente, il nostro $ x $ deve essere intero, e quindi $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $, diviso per $ n $ (che immaginiamo di raccogliere a fattor comune) deve pure essere intero. Si ha dunque che $ \displaystyle \frac{n-1}{2} $ deve essere intero, e quindi $ n $ deve essere dispari. A questo punto calcoliamo i divisori dispari di $ 9000 $, che sono $ (2+1)(3+1)=12 $, da cui togliamo $ 1 $, ottenendo il risultato. :)
Ultima modifica di Ani-sama il 02 mag 2006, 15:52, modificato 1 volta in totale.
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pirignao
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Messaggio da pirignao » 02 mag 2006, 08:05

Anzitutto si osservi che, per una questione di parità, il numero di interi consecutivi deve essere dispari.
se fossero pari scrivere 2k+1 non è più valido, dico bene?
In realtà un risultato non proprio ovvio ma facilissimo da dimostrare garantisce che un numero può essere scomposto in somme di n (n dispari) numeri consecutivi sse è divisibile per quell'n. E fin qui vanno benissimo tutte le considerazioni fatte.
Inoltre però si può scomporre anche in somme di m (m pari) numeri consecutivi sse diviso per quell'm dà resto m/2. In effetti si può anche scrivere, perchè no?,
...(x-3/2) + (x-1/2) + (x+1/2) + (x+3/2)...
Nel nostro caso, ad esempio, 9000/16 = 562.5 ed effettivamente la somma
555+556+557+...+570, di 16 termini, ha come risultato 9000.
Dunque ai 12 divisori dispari vanno aggiunte altre 12 possibilità ottenute moltiplicando tali divisori per 12. Dopodichè si fa un controllo (perchè i numeri devono essere interi positivi bisogna scartare i casi in cui non tutti lo siano) e il risultato dovrebbe essere giusto.

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