Ho pensato che non avevo contato la forza sviluppata nel centro di rotazione della ruota dalla massa dell'automobile che viene frenata, in particolare quella che conta per una singola ruota è : $ \frac{M-7m}{7} $.
Perciò l'equazione può essere scritta in questo modo: $ -F_p(R+r)-\frac{M-7m}{7} \alpha R^2=I_1\alpha $. Al secondo addendo ho messo il meno in quanto l'accelerazione è negativa. Prima me lo ero dimenticato.
E da qui si ricava $ \alpha $:
$ \alpha=\frac{-7F_p(R+r)}{7I_1+(M-7m)R^2} $, dove $ I_1=3/2mR^2 $.
OK?
Tornare a casa è rischioso...
A questo punto, $ \alpha(t)R=a(t) $ e si integra per trovare la velocità e ponendo che la velocità al tempo zero è $ v_0 $, e di nuovo per trovare lo spazio percorso in funzione del tempo. Questo accade tutto se la ruota continua a rotolare. Bisogna trovare ora l'espressione della forza di attrito sulla sigola ruota in funzione della decelerazione per trovare la condizione limite. Però ci sto pensando a come fare ma nn ci riesco.... Quando una ruota sottoposta ad una accelerazione slitta invece i rotolare? 
Welcome to the real world...
Si fanno progressi, a quanto vedo! Suggerirei una linea d'azione per non impazzire con mille metodi diversi: trovare tutte le forze SEPARATAMENTE in funzione del tempo, e DOPO ragionare sui moti. @ neoneo: una ruota slitta invece di rotolare se la forza d'attrito necessaria per tenerla in rotolamento (in pratica per non farla decelerare troppo angolarmente) è disponibile. Domanda utile: quando la forza d'attrito raggiunge il valore limite ? Ovviamente dipende dal coeff. d'attrito. Speriamo che il tempo necessario sia superiore a quello necessario per fermarsi, altrimenti... Dai, ho detto anche troppo!
edit: dimenticavo: ti merita usare il mom. d'inerzia rispetto all'asse, perchè sennò perdi una condizione preziosa (che credo sia proprio quella che ti manca)
edit: dimenticavo: ti merita usare il mom. d'inerzia rispetto all'asse, perchè sennò perdi una condizione preziosa (che credo sia proprio quella che ti manca)
Hai ragione, la forza di attrito ha momento contario a quello dei freni, e quindi va scritta nell'equazione con il segno negativo.Ciao, ho letto il post di Tuvok, ma non sono d'accordo con la seconda equazione che hai scritto:$ RF_a+rF=I\alpha $
Mi viene un dubbio: dato che la forza di attrito influenza il moto orizzontale del veicolo, non va contata anche quella nell'equazione del moto traslazionale?Inoltre non sono d'accordo neanche con la prima equazione, poichè se la ruota continua a girare credo che l'unica forza che ompia lavoro sia la $ F_p\, $.
Lunga vita e prosperità
Avete ragione,ho scritto un sacco di fesserie nella prima soluzione...
Cmq sono d'accordo con Neoneo.La forza d'attrito non compie lavoro essendo una forza d'attrito statica.Si oppone semplicemente allo strisciamento,e permette quindi alla macchina di muoversi di puro rotolamento.Qundi nell'accelerazione non può comparire.
Con la formula di Newton questa volta non sono riuscito a cavarci nulla di buono.Provo con la conservazione dell'energia...
Inanzitutto cambio il testo per semplificare l'espressione della velocità:
La stessa macchina partendo da ferma raggiunge la velocità $ \displaystyle v $,trovare lo spazio percorso.Lo spazio è lo stesso rispetto a quello dello scorso esercizio,solo che impostandolo in questo modo i calcoli vengono molto più semplici...
La macchina alla fine del tragitto ha un energia cinetica pari a:
$ \displaystyle \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega ^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{7}{4}mv^2 = av^2 $
avendo posto $ \displaystyle a = \frac{1}{2}M + \frac{7}{4}m $
La forza d'attrito non compie lavoro,la forza $ F_p $
compie invece il lavoro $ \displaystyle L = \int {F_p } ds + \int {F_p r} d\phi = \int {F_p } ds + \int {F_P } \frac{r}{R}ds = \int {F_P } \frac{{r + R}}{R}ds $
Per il teorema dell'energia cinetica:
$ \displaystyle av^2 = \int {bt} ds $ dove $ \displaystyle b = 200\frac{{r + R}}{R} $
Fino a qua c'era arrivato pure NeoNeo.Il problema a questo punto è risolvere quell'integrale che non è affatto immediato. C'è il $ \displaystyle t $ che dà fastidio...
Io ho ragionato così.Inanzitutto pongo $ \displaystyle ds = vdt $. La forza $ \displaystyle F_p $ è proporzionale a $ \displaystyle t $. Lo spazio non può che essere una funzione del tipo:
$ \displaystyle s = a_3 t^3 + a_2 t^3 + a_1 t $. Il termine noto non c'è perchè all'istante iniziale la macchina si trova nella posizione $ \displaystyle s=0 $.
Quindi:$ \displaystyle v = \frac{{ds}}{{dt}} = 3a_3 t^2 + 2a_2 t + a_1 $
La velocità iniziale è nulla quindi $ \displaystyle a_1=0 $
Per il teorema dell'energia cinetica:
$ \displaystyle a\left( {3a_3 t^2 + 2a_2 t } \right)^2 = \int {bt} \left( {3a_3 t^2 + 2a_2 t } \right)dt $.
Nel membro di destra manca il termine in $ \displaystyle \displaystyle t^2 $ quindi $ \displaystyle a_2=0 $:
$ \displaystyle 9aa_3^2 t^4 = \int {3ba_3 t^3 dt \Rightarrow 3a_3 } t^4 = \frac{1}{4}bt^4 \Rightarrow a_3 = \frac{b}{{12a}} $.
A questo abbiamo tutto:
$ \displaystyle s = \frac{b}{{12a}}t^3 \,\,\,\,\,\,v = \frac{b}{{4a}}t^2 \\ $
$ \displaystyle t = 2\sqrt {\frac{{av_0 }}{b}} \Rightarrow s = \frac{{2b}}{{3a}}\left( {\frac{{av_0 }}{b}} \right)^{\frac{3}{2}} $
Cmq sono d'accordo con Neoneo.La forza d'attrito non compie lavoro essendo una forza d'attrito statica.Si oppone semplicemente allo strisciamento,e permette quindi alla macchina di muoversi di puro rotolamento.Qundi nell'accelerazione non può comparire.
Con la formula di Newton questa volta non sono riuscito a cavarci nulla di buono.Provo con la conservazione dell'energia...
Inanzitutto cambio il testo per semplificare l'espressione della velocità:
La stessa macchina partendo da ferma raggiunge la velocità $ \displaystyle v $,trovare lo spazio percorso.Lo spazio è lo stesso rispetto a quello dello scorso esercizio,solo che impostandolo in questo modo i calcoli vengono molto più semplici...
La macchina alla fine del tragitto ha un energia cinetica pari a:
$ \displaystyle \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega ^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{7}{4}mv^2 = av^2 $
avendo posto $ \displaystyle a = \frac{1}{2}M + \frac{7}{4}m $
La forza d'attrito non compie lavoro,la forza $ F_p $
compie invece il lavoro $ \displaystyle L = \int {F_p } ds + \int {F_p r} d\phi = \int {F_p } ds + \int {F_P } \frac{r}{R}ds = \int {F_P } \frac{{r + R}}{R}ds $
Per il teorema dell'energia cinetica:
$ \displaystyle av^2 = \int {bt} ds $ dove $ \displaystyle b = 200\frac{{r + R}}{R} $
Fino a qua c'era arrivato pure NeoNeo.Il problema a questo punto è risolvere quell'integrale che non è affatto immediato. C'è il $ \displaystyle t $ che dà fastidio...
Io ho ragionato così.Inanzitutto pongo $ \displaystyle ds = vdt $. La forza $ \displaystyle F_p $ è proporzionale a $ \displaystyle t $. Lo spazio non può che essere una funzione del tipo:
$ \displaystyle s = a_3 t^3 + a_2 t^3 + a_1 t $. Il termine noto non c'è perchè all'istante iniziale la macchina si trova nella posizione $ \displaystyle s=0 $.
Quindi:$ \displaystyle v = \frac{{ds}}{{dt}} = 3a_3 t^2 + 2a_2 t + a_1 $
La velocità iniziale è nulla quindi $ \displaystyle a_1=0 $
Per il teorema dell'energia cinetica:
$ \displaystyle a\left( {3a_3 t^2 + 2a_2 t } \right)^2 = \int {bt} \left( {3a_3 t^2 + 2a_2 t } \right)dt $.
Nel membro di destra manca il termine in $ \displaystyle \displaystyle t^2 $ quindi $ \displaystyle a_2=0 $:
$ \displaystyle 9aa_3^2 t^4 = \int {3ba_3 t^3 dt \Rightarrow 3a_3 } t^4 = \frac{1}{4}bt^4 \Rightarrow a_3 = \frac{b}{{12a}} $.
A questo abbiamo tutto:
$ \displaystyle s = \frac{b}{{12a}}t^3 \,\,\,\,\,\,v = \frac{b}{{4a}}t^2 \\ $
$ \displaystyle t = 2\sqrt {\frac{{av_0 }}{b}} \Rightarrow s = \frac{{2b}}{{3a}}\left( {\frac{{av_0 }}{b}} \right)^{\frac{3}{2}} $
Scusa __Cu_Jo__, ma non ho capito perchè nell'equazione del lavoro hai inserito una somma di due termini; mi spiego, io avevo scritto una simile prima ma senza il primo addendo, che non capisco cosa significhi, e poi dovresti anche moltiplicare per un fattore 7. Per il resto la risoluzione del'integrale mi ha convinto.... 
Welcome to the real world...
Perchè è un moto rototraslatorio non solo rotatorio!Se non sei convinto fai un semplice esercizio:a una ruota di raggio R viene applicata una forza costante F a una distanza r dal centro.Qual è l'accelerazione(può considerare per semplicità che la velocità iniziale sia nulla)?Ti calcoli subito l'accelerazione con la legge di Newton e poi col teorema dell'energia cinetica ti trovi il lavoro svolto dalla forza.
Quanto al fatto che devo moltiplicare per 7 hai ragione...
Comunque ora che ci penso non c'è neanche bisogno di tutti questi calcoli...Il momento d'inerzia dell'automobile rispetto a un'asse ortogonale alla ruota e a contatto col suolo è $ I = \left( {M - 7m} \right)R^2 + 7\frac{3}{2}mR^2 = MR^2 + \frac{7}{2}mR^2 $.E' come se il peso "l'abitacolo" fosse concentrato nel centro delle 7 ruote. Se fai i calcoli giungi alle stesse conclusioni del bilancio energetico...
Quanto al fatto che devo moltiplicare per 7 hai ragione...
Comunque ora che ci penso non c'è neanche bisogno di tutti questi calcoli...Il momento d'inerzia dell'automobile rispetto a un'asse ortogonale alla ruota e a contatto col suolo è $ I = \left( {M - 7m} \right)R^2 + 7\frac{3}{2}mR^2 = MR^2 + \frac{7}{2}mR^2 $.E' come se il peso "l'abitacolo" fosse concentrato nel centro delle 7 ruote. Se fai i calcoli giungi alle stesse conclusioni del bilancio energetico...
Non credo che si possa considerare il peso dell'abitacolo concentrato nel centro delle ruote poichè la massa di questo non ruota, bensì viene trasportata. Per questo io credo che il lavora sia solo $ \frac{7r}{R}\int_0^s{F_p}ds $, poichè la forza di frenamento percorre un tragitto sulla ruota ed il lavoro è solo quello. No?
Welcome to the real world...
Sconsigliabile usare l'energia... troppe cose variabili.
Suggerirei il seguente ragionamento:
1- traslazione di una ruota (forza frenante, forza di attrito, forza sul mozzo)
2- traslazione del veicolo senza le ruote (forza sul mozzo, forza frenante)
3- rotazione di una ruota intorno all'asse (forza frenante, forza d'attrito)
Il tutto condito da azione-reazione (le pasticche frenano la ruota ma la ruota esercita sulle pasticche una forza ....).
Il peso ci interessa solo per l'attrito, la forza del mozzo in senso verticale non ci interessa perchè il veicolo non accelera verticalmente.
Dai, ho detto anche troppo!
Suggerirei il seguente ragionamento:
1- traslazione di una ruota (forza frenante, forza di attrito, forza sul mozzo)
2- traslazione del veicolo senza le ruote (forza sul mozzo, forza frenante)
3- rotazione di una ruota intorno all'asse (forza frenante, forza d'attrito)
Il tutto condito da azione-reazione (le pasticche frenano la ruota ma la ruota esercita sulle pasticche una forza ....).
Il peso ci interessa solo per l'attrito, la forza del mozzo in senso verticale non ci interessa perchè il veicolo non accelera verticalmente.
Dai, ho detto anche troppo!
Ah, ho capito cosa intendi, pardon.Intendi che in quanto il sistema trasla allora la forza che sposta il suo punto di applicazione compie anche lavoro in quel senso. Però non sono cmq convinto, perchè il fatto che la forza sposti a velocità $ v(t) $ il suo punto di applicazione, questo non comporta un lavoro. Il lavoro qui è prodotto solo dallo sfregamento sulla ruota non credi?
Welcome to the real world...
Bacco, cmq non mi hai ancora detto perchè è sbagliato seguire il metodo che ho indicato io con l'accelerazione e integrando oppure quello di Jo che, mi sembra funzioni....
Comunque proseguendo con il ragionamento che avevo fatto ricvando l'accelerazione ottengo queste conseguenze:
Comunque proseguendo con il ragionamento che avevo fatto ricvando l'accelerazione ottengo queste conseguenze:
Ultima modifica di NEONEO il 02 mag 2006, 18:48, modificato 1 volta in totale.
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NeonNeo non scassare il *****,il lavoro è l'unica cosa di cui sono sicuro !!!Te lo faccio vedere con quell'esempio.
Per la legge di Newton:
$ \displaystyle \frac{3}{2}mR^2 \alpha = F\left( {R + r} \right) $ quindi:
$ \displaystyle a = \alpha R = \frac{{2F\left( {r + R} \right)}}{{3mR}} $.Lo spazio che percorre è quindi:$ \displaystyle s = \frac{{v^2 }}{{2a}} = \frac{{3mRv^2 }}{{4F\left( {R + r} \right)}} $. Per la conservzaione dell'enrgia invece:
$ \displaystyle \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \int {F\frac{{r + R}}{R}} ds = F\frac{{r + R}}{R}s $
Se vedi è lo stesso risultato...
!!!Te lo faccio vedere con quell'esempio.Per la legge di Newton:
$ \displaystyle \frac{3}{2}mR^2 \alpha = F\left( {R + r} \right) $ quindi:
$ \displaystyle a = \alpha R = \frac{{2F\left( {r + R} \right)}}{{3mR}} $.Lo spazio che percorre è quindi:$ \displaystyle s = \frac{{v^2 }}{{2a}} = \frac{{3mRv^2 }}{{4F\left( {R + r} \right)}} $. Per la conservzaione dell'enrgia invece:
$ \displaystyle \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \int {F\frac{{r + R}}{R}} ds = F\frac{{r + R}}{R}s $
Se vedi è lo stesso risultato...