Mi chiedevo quale sia l'equazione di una generica equazione.
Tutte le formule che ho trovato riguardano la rotazione attorno all'origine del sistema di riferimento, ma la rotazione attorno ad un punto generico?
Ho pensato che si potrebbe comporre una traslazione per portare il centro di rotazione con l'origine, la rotazione canonica dello stesso angolo e la traslazione opposta, ma non ho trovato conferme da nessuna parte.
Esiste qualcosa di più decente?
Grazie
PS: mi riferisco sia al caso 2D che al caso 3D
Rotazioni
Beh, nel caso 2D ti puoi aiutare con i numeri complessi :
sia $ \omega $ di norma 1; allora $ z\mapsto\omega z $ è una rotazione attorno all'origine. Se la vuoi attorno al punto $ z_0 $ ti basta scrivere $ z\mapsto (z-z_0)\omgea + z_0 $.
Quindi $ z\mapsto\omega z+z_0(1-\omega) $
Se ora poni $ \omega=\cos\theta+i\sin\theta $ e $ z_0=a+ib $, otterrai
$ x+iy\mapsto x\cos\theta-y\sin\theta+ i(x\sin\theta+y\cos\theta) $$ + a(1-\cos\theta)-b\sin\theta+i(a\sin\theta+b(1-\cos\theta)) $
dunque
$ \left\{\begin{array}{lll}x'&=&x\cos\theta-y\sin\theta+a(1-\cos\theta)-b\sin\theta\\ y'&=&x\sin\theta+y\cos\theta+a\sin\theta+b(1-\cos\theta)\end{array}\right. $
Nel caso 3D, mi sa che è meglio usare le matrici.
sia $ \omega $ di norma 1; allora $ z\mapsto\omega z $ è una rotazione attorno all'origine. Se la vuoi attorno al punto $ z_0 $ ti basta scrivere $ z\mapsto (z-z_0)\omgea + z_0 $.
Quindi $ z\mapsto\omega z+z_0(1-\omega) $
Se ora poni $ \omega=\cos\theta+i\sin\theta $ e $ z_0=a+ib $, otterrai
$ x+iy\mapsto x\cos\theta-y\sin\theta+ i(x\sin\theta+y\cos\theta) $$ + a(1-\cos\theta)-b\sin\theta+i(a\sin\theta+b(1-\cos\theta)) $
dunque
$ \left\{\begin{array}{lll}x'&=&x\cos\theta-y\sin\theta+a(1-\cos\theta)-b\sin\theta\\ y'&=&x\sin\theta+y\cos\theta+a\sin\theta+b(1-\cos\theta)\end{array}\right. $
Nel caso 3D, mi sa che è meglio usare le matrici.