Vecchio e semplice

[what]

a,b,c,d reali positivi
dimostrare che

$ \displaystyle \sum_{cycl}a^3cd \geq abcd(a+b+c+d) $

astenersi esperti!

[Martin]

Mi sai dire come si sviluppa una somma ciclica?
grazie

[Boll]

Dividi per abcd, abbiamo
a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a>= a+b+c+d
(a,b,c,d) sono ordinate in un dato modo (s(a),s(b),s(c),s(d))
avremo che (s(a)^2,...,s(d)^2) e (1/s(d),---,1/s(a)) sono ordinate allo stesso modo, quindi s(a)+s(b)+s(c)+s(d)=a+b+c+d è l'ordinamento minimo per la disuguaglianza di riordinamento

[Simo_the_wolf]

Dividendo per abcd, si moltiplica per a+b+c+d et voilà, un cauchy-schwarz bello e servito...

Boll la tua sol è sbagliata, ricordati che è ciclica...

[what]

x Martin:

una somma ciclica è una somma che si sviluppa "ciclando" le variabili;

$ \displaystyle \sum_{cycl}f(a,b,c,d)=f(a,b,c,d)+f(b,c,d,a)+f(c,d,a,b)+f(d,a,b,c) $

sostanzialmente prendi la funzione nella sommatoria e la sommi tante volte quante sono le variabili, ogni volta "shiftando" le variabili.

e quindi nel nostro esercizio

$ \displaystyle \sum_{cycl}a^3cd=a^3cd+b^3da+c^3ab+d^3bc $

spero sia chiaro, altrimenti richiedi pure!


ok a simo e boll(anche se in effetti non puoi dire a>b>c>d puoi comunque riordinare il tutto)

[Martin]

Se devo shiftare le variabili della somma come mai ci metti anche $ $b^3da $ e $ d^3bc$ $
visto che b non compare nella somma?
grazie

[what]

vedila così:

$ \displaystyle \sum_{cycl}a^3cd=\sum_{cycl}a^3b^0c^1d^1 $

quindi a turno una delle quattro variabili "sparisce", nel senso che viene elevata alla 0.

Nota anche che

$ \displaystyle \sum_{cycl}a^3cd=\sum_{cycl}b^3da=\sum_{cycl}c^3ab=\sum_{cycl}d^3bc $

[Martin]

dunque potrebbe anche essere
$ $\sum_{cycl}a^3cd = \sum_{cycl}a^3b^0cde^0f^0...$ $
se non avessi il membro di destra che mette in mostra le variabili?

[what]

In nessun problema (penso) troverai nel testo una somma ciclica, a meno che non siano evidenti le variabili utilizzate. Si tratta più di una scrittura di comodo, che ti permette di scrivere una brutta e lunga somma in una semplice sommatoria. Nel problema in questione, la sommatoria ce l'ho messa io, anche se nel testo originale era esplicitata tutta la somma.
Nota però che prima del problema definisco le variabili in gioco.

Comunque in teoria un'espressione del tipo $ \sum_{cycl}a^2 $ non ha senso se non so quante sono le variabili da ciclare.

[Martin]

Ok grazie, ora è tutto chiaro