Beatty

[Santana]

Siano $ \alpha $ e $ \beta $ due irrazionali positivi tali che

$ 1/{\alpha}+1/{\beta}=1 $

dimostrare che le due serie

$ [\alpha],[2\alpha],[3\alpha]... $

$ [\beta],[2\beta],[3\beta]... $

dove $ [] $ indica la parte intera, contengono tutti gli interi positivi senza ripetizioni.

Ciao Ciao

[frengo]

allora:

1° step:
le due successioni non si "sovrappongono" mai, ovvero non esistono $ m $ ed $ n $ tali che $ [n\alpha]=[m\beta] $.

Dimostrazione:
ragioniamo per assurdo,supponiamo che esistano $ m,n,x $ naturali tali che

$ x<n\alpha<x+1 $
$ x<m\beta<x+1 $

e cerchiamo di ricavarci la relazione data per ipotesi:

$ \displaystyle \frac{x}{n}<\alpha<\frac{x+1}{n} $
$ \displaystyle \frac{x}{m}<\beta<\frac{x+1}{m} $

$ \displaystyle \frac{n}{x}>\frac{1}{\alpha}>\frac{n}{x+1} $
$ \displaystyle \frac{m}{x}>\frac{1}{\beta}>\frac{m}{x+1} $

sommando
$ \displaystyle \frac{n}{x}+\frac{m}{x}>\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}>\frac{n}{x+1}+\frac{m}{x+1} $

$ \displaystyle \frac{n+m}{x}>1>\frac{n+m}{x+1} $

$ \displaystyle \frac{1}{x}>\frac{1}{n+m}>\frac{1}{x+1} $

$ x<n+m<x+1 $

che,essendo $ n+m $ un numero intero,è impossibile.
siamo arrivati ad un assurdo quindi il lemma 1 è vero.

2°step:
le successioni non "saltano" nessun numero naturale:non esistono quindi $ n,m,x $ tali che

$ n\alpha<x $ $ \text{e} $ $ x+1<(n+1)\alpha $
$ m\beta<x $ $ \text{e} $ $ x+1<(m+1)\beta $

Dimostrazione:
ragioniamo di nuovo per assurdo e cerchiamo di nuovo di ricavarci la relazione del testo:

$ \displaystyle \alpha<\frac{x}{n} $ $ \text{e} $ $ \displaystyle \frac{x+1}{n+1}<\alpha $
$ \displaystyle \beta<\frac{x}{m} $ $ \text{e} $ $ \displaystyle \frac{x+1}{m+1}<\beta $

$ \displaystyle \frac{x+1}{n+1}<\alpha<\frac{x}{n} $
$ \displaystyle \frac{x+1}{m+1}<\beta<\frac{x}{m} $

$ \displaystyle \frac{n+1}{x+1}>\frac{1}{\alpha}>\frac{n}{x} $
$ \displaystyle \frac{m+1}{x+1}>\frac{1}{\beta}>\frac{m}{x} $

arisommando

$ \displaystyle \frac{n+1}{x+1}+\frac{m+1}{x+1}>1>\frac{n}{x}+\frac{m}{x} $

$ \displaystyle \frac{m+n+2}{x+1}>1>\frac{m+n}{x} $

da cui

$ m+n+2>x+1 $
$ m+n<x $

che di nuovo è impossibile (almeno in uno dei due casi dovrebbe valere l'uguaglianza) visto che $ m+n $ è intero, e quindi anche il lemma 2 è vero.

da questi due lemmi discende direttamente la tesi,che è così dimostrata.

ciao ciao

[Santana]

allora: ...

Mi sembra tutto giusto, bravo!

Posto la mia dimostrazione che, avendo forse avuto più tempo per sistemarla, è più sintetica.

Step 1

Ogni numero $ n $ si può scrivere o nella forma $ [\alpha k ] $ o nella forma $ [ (\alpha)/(\alpha-1) k ] $.

Indico con [] la parte intera inferiore con []* la superiore.

Definiamo

$ x_1=[n/ \alpha]*-n/ \alpha $

$ x_2=-[n/ \alpha]+n/ \alpha $

Se $ x_1<1 / \alpha $ allora

$ n=[ \alpha [n/ \alpha]* ] $

infatti

$ n=[ \alpha [n/ \alpha]* ]=[ \alpha x_1 +n]=[n] $

Se $ x_2<1 / \alpha $ allora

$ n=[ (\alpha)/(\alpha-1) [n(\alpha-1)/(\alpha)]* ] $

infatti

$ [ n(\alpha-1)/(\alpha) ]*-(\alpha-1)/(\alpha)n=-[n/(\alpha)]+n/(\alpha)=x_2 $

$ n=[ (\alpha)/(\alpha-1) [n(\alpha-1)/(\alpha)]* ]=[ (\alpha)/(\alpha-1)x_2+n ]=[n] $

ora abbiamo anche $ x_1+x_2=1 $ poichè $ \alpha $ è irrazionale.
è facile vedere che non può essere ne $ x_1=1/(\alpha) $ ne $ x_2=1/(\alpha) $ e ciò dimostra che le serie nella tesi contengono tutti i naturali.

Step 2

A parte le notazioni ho proceduto come te

Ciao Ciao

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