Problemino

[febiz2004]

Sia $ N $ un intero positivo tale che $ N $ abbia un resto di 2 o di 4 quando viene diviso da 6 ed esistano due interi $ x $ ed $ y $ tali che $ N=x^2+27y^2 $. Dimostrare che esistono due interi $ a $ e $ b $ con $ N=a^2+3b^2 $ dove $ b $ è un intero non divisibile per 3.

[darkcrystal]

La prima cosa che mi viene in mente è che $ N \equiv 4 (\mod 6) $, perchè
$ N \equiv x^2 (\mod 3) $, ma poichè $ n \neq 0 (\mod 3) $ per ipotesi, e i quadrati sono congrui a 0 (impossibile) o a 1 modulo 3, $ N \equiv 1 (\mod 3) $

[Simo_the_wolf]

Ok, visto che nessuno risponde...

Sappiamo che $ N $ è pari e quindi $ x $ e $ y $ devono avere la stessa parità.

Il problema si risolve ponendo:

$ 2a=x \pm 9y $ e $ 2b=x \mp 3y $