Si prendano $ 0<a,b,c<1 $ $ 0<x,y,z<+\infty $ reali positivi tali che
$ a^x=bc $
$ b^y=ca $
$ c^z=ab $.
Si provi che
$ $ \frac 1{2+x} + \frac 1{2+y} + \frac 1{2+z} \leq \frac 34 $
Tanto fumo negli occhi e poco arrosto (Disuguaglianza)
Tanto fumo negli occhi e poco arrosto (Disuguaglianza)
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Chiedo scusa per le lettere sfasate col testo, oramai l'ho scritta così... le A,B,C maiuscole sono quelle che nel testo sono minuscole.
Siano $ a=ln A , b=ln B , c=ln C $.
E' facile vedere che la disuguaglianza diventa:
$ \displaystyle \frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+a+b} \leq \frac{3}{4} $.
Inoltre a,b,c sono concordi.
Ponendo $ a+b+c=1 $ ottengo:
$ \displaystyle \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c} \leq \frac{3}{4} $
che è vera per Jensen, essendo $ f(x)=\frac{x}{1+x} $ concava nei positivi.
Ci sarà di certo un modo più facile per farla, ma io ho visto subito questo...
Ciao
Siano $ a=ln A , b=ln B , c=ln C $.
E' facile vedere che la disuguaglianza diventa:
$ \displaystyle \frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+a+b} \leq \frac{3}{4} $.
Inoltre a,b,c sono concordi.
Ponendo $ a+b+c=1 $ ottengo:
$ \displaystyle \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c} \leq \frac{3}{4} $
che è vera per Jensen, essendo $ f(x)=\frac{x}{1+x} $ concava nei positivi.
Ci sarà di certo un modo più facile per farla, ma io ho visto subito questo...
Ciao
ah, jensen,jensen...ogni volta che lo uso mi sento in colpa(non mi va di usare la derivata seconda)
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{a}{2a+b+c}\leq\frac{3}{4} $
ora con
$ d=b+c $
$ e=a+c $
$ f=a+b $
viene
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{\frac{e+f-d}{2}}{e+f}\leq\frac{3}{4} $
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{e+f-d}{e+f}\leq\frac{3}{2} $
$ \displaystyle 3-\sum\limits_{cycl}\frac{d}{e+f}\leq\frac{3}{2} $
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{d}{e+f}\geq\frac{3}{2} $
e da qui procedete pure col metodo che preferite (anche con jensen volendo...)
ciao ciao
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{a}{2a+b+c}\leq\frac{3}{4} $
ora con
$ d=b+c $
$ e=a+c $
$ f=a+b $
viene
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{\frac{e+f-d}{2}}{e+f}\leq\frac{3}{4} $
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{e+f-d}{e+f}\leq\frac{3}{2} $
$ \displaystyle 3-\sum\limits_{cycl}\frac{d}{e+f}\leq\frac{3}{2} $
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{d}{e+f}\geq\frac{3}{2} $
e da qui procedete pure col metodo che preferite (anche con jensen volendo...)
ciao ciao