Si prendano $ 0<a,b,c<1 $ $ 0<x,y,z<+\infty $ reali positivi tali che
$ a^x=bc $
$ b^y=ca $
$ c^z=ab $.
Si provi che
$ $ \frac 1{2+x} + \frac 1{2+y} + \frac 1{2+z} \leq \frac 34 $
Tanto fumo negli occhi e poco arrosto (Disuguaglianza)
Tanto fumo negli occhi e poco arrosto (Disuguaglianza)
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Chiedo scusa per le lettere sfasate col testo, oramai l'ho scritta così... le A,B,C maiuscole sono quelle che nel testo sono minuscole.
Siano $ a=ln A , b=ln B , c=ln C $.
E' facile vedere che la disuguaglianza diventa:
$ \displaystyle \frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+a+b} \leq \frac{3}{4} $.
Inoltre a,b,c sono concordi.
Ponendo $ a+b+c=1 $ ottengo:
$ \displaystyle \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c} \leq \frac{3}{4} $
che è vera per Jensen, essendo $ f(x)=\frac{x}{1+x} $ concava nei positivi.
Ci sarà di certo un modo più facile per farla, ma io ho visto subito questo...
Ciao
Siano $ a=ln A , b=ln B , c=ln C $.
E' facile vedere che la disuguaglianza diventa:
$ \displaystyle \frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+a+b} \leq \frac{3}{4} $.
Inoltre a,b,c sono concordi.
Ponendo $ a+b+c=1 $ ottengo:
$ \displaystyle \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c} \leq \frac{3}{4} $
che è vera per Jensen, essendo $ f(x)=\frac{x}{1+x} $ concava nei positivi.
Ci sarà di certo un modo più facile per farla, ma io ho visto subito questo...
Ciao
:P
ah, jensen,jensen...ogni volta che lo uso mi sento in colpa(non mi va di usare la derivata seconda)
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{a}{2a+b+c}\leq\frac{3}{4} $
ora con
$ d=b+c $
$ e=a+c $
$ f=a+b $
viene
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{\frac{e+f-d}{2}}{e+f}\leq\frac{3}{4} $
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{e+f-d}{e+f}\leq\frac{3}{2} $
$ \displaystyle 3-\sum\limits_{cycl}\frac{d}{e+f}\leq\frac{3}{2} $
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{d}{e+f}\geq\frac{3}{2} $
e da qui procedete pure col metodo che preferite (anche con jensen volendo...)
ciao ciao
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{a}{2a+b+c}\leq\frac{3}{4} $
ora con
$ d=b+c $
$ e=a+c $
$ f=a+b $
viene
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{\frac{e+f-d}{2}}{e+f}\leq\frac{3}{4} $
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{e+f-d}{e+f}\leq\frac{3}{2} $
$ \displaystyle 3-\sum\limits_{cycl}\frac{d}{e+f}\leq\frac{3}{2} $
$ \displaystyle \sum\limits_{cycl}\frac{d}{e+f}\geq\frac{3}{2} $
e da qui procedete pure col metodo che preferite (anche con jensen volendo...)
ciao ciao