Media Geometrica
Media Geometrica
Io ho a disposizione venti valori di probabilità...ne devo scegliere dieci in modo tale da minimizzare la media geometrica e quella semplice...per minimizzare la media semplice basta scegliere i dieci valori più piccoli...vale lo stesso anche per la media geometrica?
Cogito...Cogito...Cogito....
Ah ecco, dai un'occhiata qui:
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=3497
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=3497
In ogni caso, siano p_1, p_2, ..., p_20 i venti valori di probabilità che si hanno a disposizione, con p_1 <= p_2 <= ... <= p_20.
Supponiamo per assurdo che GM(p_1;p_2;...;p_10) = (p_1*p_2*...*p_10)^(1/10) non sia il valore più piccolo ottenibile facendo la media geometrica di 10 elementi. Questo significa che ce n'è uno ancora più piccolo. Ma ogni altro valore si ottiene sostituendo uno o più elementi all'interno della media con altri p_i, non presenti all'interno della media, dove quindi i > 10. Poichè abbiamo posto i vari p_i in ordine crescente, ne segue che il valore della base ne risulterà in ogni caso incrementato (in senso lato, cioè è anche possibile che rimanga uguale). L'esponente è positivo e quindi aumentando la base aumenta anche la potenza (anche qui lo dobbiamo intendere in senso lato). Non riusciremo mai quindi a diminuire in senso stretto il valore della media, e quindi la media dei dieci valori più piccoli è il valore più piccolo ottenibile.
Supponiamo per assurdo che GM(p_1;p_2;...;p_10) = (p_1*p_2*...*p_10)^(1/10) non sia il valore più piccolo ottenibile facendo la media geometrica di 10 elementi. Questo significa che ce n'è uno ancora più piccolo. Ma ogni altro valore si ottiene sostituendo uno o più elementi all'interno della media con altri p_i, non presenti all'interno della media, dove quindi i > 10. Poichè abbiamo posto i vari p_i in ordine crescente, ne segue che il valore della base ne risulterà in ogni caso incrementato (in senso lato, cioè è anche possibile che rimanga uguale). L'esponente è positivo e quindi aumentando la base aumenta anche la potenza (anche qui lo dobbiamo intendere in senso lato). Non riusciremo mai quindi a diminuire in senso stretto il valore della media, e quindi la media dei dieci valori più piccoli è il valore più piccolo ottenibile.