Spazi vettoriali, norme, unità di misura

[Rael]

Salve a tutti, avevo un dubbio su una cosa:
Supponiamo di definire uno spazio vettoriale eterogeneo (ad esempio abbiamo lo spazio di stato di un sistema dinamico a due componenti: tempo e temperatura), ha senso fisico la norma euclidea di un vettore in un tale spazio ?

la norma due di un vettore a due componenti :

|X|2 = sqrt((X1)^2 + (X2)^2)

secondo me no, insomma ha senso sommare secondi al quadrato con gradi a quadrato e farne la radice ???
Probabilmente però devo rivedere due cose di geometria differenziale... qualcuno può aiutarmi

[BMcKmas]

Questione molto interessante.

Penso che dipenda da cosa intendi per 'senso'. Sicuramente non ha senso fisico perchè non possono essere sommate quantità non dimensionalmente coerenti. Tuttavia, potrebbe avere senso dal punto di vista matematico per trovare minimi scostamenti o fare operazioni del genere. In tal caso, forse, il modo più significativo di salvare capra e cavoli potrebbe essere quello di adimensionalizzare le due grandezze con quantità di riferimento significative del problema (invece che con arbitrarie unità di misura) prima di definire la norma euclidea.

Un tipico problema di questo genere è il seguente: data una sequenza di coppie di valori che definiscono il legame tra due grandezze non omogenee in un esperimento (per esempio lunghezza di una molla e forza applicata) , trovare la migliore retta che rappresenta la legge.
Di solito si usa il criterio dei minimi quadrati ma questo prevede di minimizzare gli scarti quadratici sulle x o sulle y , scegliendo arbitrariamente la variabile dipendente e indipendente. Le due soluzioni, come è noto, sono diverse a meno che i punti non siano perfettamente allineati.
Una diversa strategia potrebbe essere quella di cercare la retta che minimizza i quadrati delle distanze geometriche (misurate sulla perpendicolare tra la retta e i punti). In questo modo la soluzione non dipende da quale variabile è assunta dipendente o indipendente e potrebbe sembrare meno arbitraria. Tuttavia il problema è del tipo di quello che proponi tu e l'arbitrarietà x-y buttata fuori dalla porta rientra dalla finestra per la necessità di scegliere le quantità 'opportune' per la normalizzazione.

Ciao

[Rael]

Interessante davvero.
Però dal punto di vista formale la cosa non avendo significato fisico, avevo pensato di procedere nel seguente modo, per mantenere la coerenza:
Posso definire un applicazione lineare $ F : \mathbb {V}^n \rightarrow \mathbb {G}^n $ definita in modo tale che: $ G = I \dotproduct V $ dove I è la matrice identità, ma con "unità di misura" tali da rendere adimensionale (o rendere consistenti le unità di misura per le operazioni che andrò a fare su G) il risultante spazio vettoriale G. Dal momento che l'applicazione è lineare, G è isomorfo a V, pertanto se ne conservano tutte le proprietà algebriche etc etc... a questo punto posso fare tutte le considerazioni che voglio su G invece che su V, e dal momento che i due spazi vettoriali sono isomorfi, tali considerazioni dovrebbero valere anche per V, in G chiamamente non si po ne più il problema delle unità di misura... ora l'impiccio imbastito dal punto di vista formale in teoria dovrebbe tradursi in "ok, se devo fare un po' di calcoli che potrebbero non rendermi consisteni le operazioni dal punto di vista fisico, rendo le costanti adimensionali, o semplicemente le considero come la stessa unità di misura"...tanto i valori numerici con questo assunto su V, e su G, sono gli stessi.

[BMcKmas]

Mi sembra che la tua proposta sia sostanzialmente equivalente a fissare le unità di misura e poi operare solo sulle quantità numeriche. In questo modo la soluzione dipende molto dalle unità scelte. Il mio consiglio era quello di scegliere quantità normalizzanti 'significative' per il problema.
In ogni caso, nella soluzione la scelta adottata deve essere esplicitata.

ciao

[Rael]

Grazie BMcKmas !
Effettivamente la scelta di normalizzare opportunamente mi sebra la soluzione più corretta invece che azzerare tutto!
Ora però mi viene in mente un altro dettaglio relativo alla definizione di spazi vettoriali.... si dice infatti che uno spazio vettoriale debba essere chiuso rispetto alla moltiplicazione per una costante, in matematica chiaramente tale costante è adimensionale, ma in fisica potrebbe avere un unità di misura, e pertanto il mio spazio vettoriale eterogeneo non sarebbe più chiuso rispetto alla moltiplicazione per costante e quindi non sarebbe più uno spazio vettoriale.... sbaglio ?

[BMcKmas]

Non sono molto portato per il rigore formale. Comunque penso che tu abbia ragione, il prodotto AB di due grandezze A e B (entrambe con dimensioni) non può più essere sommato con A... da cui ...
La ragione me la giustifico nel fatto che il prodotto tra grandezze dimensionate, oltre che una operazione algebrica tra le quantità, definisce una nuova grandezza fisica che pertanto non è una estensione delle precedenti.