Qualcuno potrebbe spiegarmi come si arriva, dimostrando, che l'equazione dell' energia del moto armonico smorzato è un'esponenziale?
grazie in anticipo!
moto armonico smorzato
moto armonico smorzato
Welcome to the real world...
Non vorrei dire stupidate, ma penso tu intenda l'energia in funzione esplicita del tempo ...
beh, ti basta sapere la legge oraria dell'oscillatore armonico smorzato, che si ricava dall'equazione del moto :
$ m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-c\frac{dx}{dt} $
Questa è un'equazione differenziale lineare di second'ordine e ci sono tecniche standard per risolverle : nel caso presente basta risolvere l'equazione associata
$ mx^2+cx+k=0 $ (1)
Si presentano poi tre casi a seconda che il discriminante $ c^2-4mk $ sia positivo (sovrasmorzamento) nullo (smorzamento critico) o negativo (sottosmorzamento). La teoria dice allora che le soluzioni dell'eq. diff sono :
nel primo caso $ x(t)=a_1e^{-|s_1|t}+a_2e^{-|s_2|t} $ con $ s_1,s_2 $ soluzioni di (1) e $ a_1,a_2 $ costanti da determinare con le condizioni iniziali
nel secondo caso $ x(t)=(a+bt)e^{-\frac{c^2}{2m^2}t} $ con a,b costanti da determinare
nel terzo caso $ x(t)=e^{-\frac{c^2}{2m^2}t}\left(A\cos\omega t+B\sin\omega t\right) $ con $ \omega=(\sqrt{4\frac{k}{m}-\frac{c^2}{m^2}})/2 $.
Per sapere perchè proprio queste sono le soluzioni ... beh, ci vuole un po' di teoria delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti ... in fondo a molti libri di 5° liceo ci sono (sicuramente in fondo al Dodero Baroncini Manfredi), oppure, su internet potresti trovare qualcosa, magari su Wikipedia ... altrimenti chiedi qui o in MNE e magari qualcuno di buona volontà lo trovi.
beh, ti basta sapere la legge oraria dell'oscillatore armonico smorzato, che si ricava dall'equazione del moto :
$ m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-c\frac{dx}{dt} $
Questa è un'equazione differenziale lineare di second'ordine e ci sono tecniche standard per risolverle : nel caso presente basta risolvere l'equazione associata
$ mx^2+cx+k=0 $ (1)
Si presentano poi tre casi a seconda che il discriminante $ c^2-4mk $ sia positivo (sovrasmorzamento) nullo (smorzamento critico) o negativo (sottosmorzamento). La teoria dice allora che le soluzioni dell'eq. diff sono :
nel primo caso $ x(t)=a_1e^{-|s_1|t}+a_2e^{-|s_2|t} $ con $ s_1,s_2 $ soluzioni di (1) e $ a_1,a_2 $ costanti da determinare con le condizioni iniziali
nel secondo caso $ x(t)=(a+bt)e^{-\frac{c^2}{2m^2}t} $ con a,b costanti da determinare
nel terzo caso $ x(t)=e^{-\frac{c^2}{2m^2}t}\left(A\cos\omega t+B\sin\omega t\right) $ con $ \omega=(\sqrt{4\frac{k}{m}-\frac{c^2}{m^2}})/2 $.
Per sapere perchè proprio queste sono le soluzioni ... beh, ci vuole un po' di teoria delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti ... in fondo a molti libri di 5° liceo ci sono (sicuramente in fondo al Dodero Baroncini Manfredi), oppure, su internet potresti trovare qualcosa, magari su Wikipedia ... altrimenti chiedi qui o in MNE e magari qualcuno di buona volontà lo trovi.
Le differenziali lineari di secondo ordine o maggiore a coefficienti costanti non sono difficili:
Se sono omogenee, cerca le soluzioni del tipo $ x(t)=c \cdot e^{\lambda t} $, sostituendo ti renderai conto... (c è una costante tra trovare)
Se ti vengono soluzioni immaginarie ricorda che:
$ e^{ix}=cos(x) + i \cdot sin(x) $
Se non sono omogenee devi aggiungere alla soluzione fatta nel modo suddetto una funzione particolare che verifica la tua differenziale, cerca quindi o un polinomio generico, o una trigonometrica, seno e coseno insieme, sempre!
Bye
Se sono omogenee, cerca le soluzioni del tipo $ x(t)=c \cdot e^{\lambda t} $, sostituendo ti renderai conto... (c è una costante tra trovare)
Se ti vengono soluzioni immaginarie ricorda che:
$ e^{ix}=cos(x) + i \cdot sin(x) $
Se non sono omogenee devi aggiungere alla soluzione fatta nel modo suddetto una funzione particolare che verifica la tua differenziale, cerca quindi o un polinomio generico, o una trigonometrica, seno e coseno insieme, sempre!
Bye
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Ma non c'è un'unica soluzione del problema di Cauchy?EvaristeG ha scritto:Gauss, ok, ma si era chiesta la "dimostrazione" ... ora, il fatto che se cerchi le soluzioni nella forma esponenziale, le trovi, non vuol dire che tutte le soluzioni siano fatte così.....
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
BMcKmas ha ragione, $ c_1 \cdot e^{\lambda_1} + c_2 \cdot e^{\lambda_2} $, note $ c_1, c_2 $ formano uno spazio vettoriale per le soluzioni, caro Evariste!!!BMcKmas ha scritto:Ma non c'è un'unica soluzione del problema di Cauchy?EvaristeG ha scritto:Gauss, ok, ma si era chiesta la "dimostrazione" ... ora, il fatto che se cerchi le soluzioni nella forma esponenziale, le trovi, non vuol dire che tutte le soluzioni siano fatte così.....
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Bimbi cari, da che mi risulti Cauchy-Lipschitz al Liceo non è ancora in programma... visto che tanto un liceale che studia fisica si dovrà trovare a fare atti di fede su quasi tutta la parte differenziale e integrale di quello che studia, non mi sembra il caso di lanciarsi in spiegazioni che risulterebbero oscure (come evidenzia anche il post di NEONEO).
Già il passaggio al complesso e ritorno non è una cosa così chiara e cristallina come sembrate credere ... poi non vorrei dover iniziare a dire cos'è un wronskiano per mostrare che le due soluzioni trovate sono indipendenti ... sono questi decisamente argomenti inutili per un liceale, soprattutto se sparati a zero così, senza spiegazioni esaurienti e senza la base teorica per cose simili.
Inoltre, la ricetta con gli esponenziali non va bene nel caso di smorzamento critico in cui una base della giacitura dello spazio di soluzioni è data da $ e^{kx},\ xe^{hx} $.
NEONEO, gli spazi vettoriali centrano per il seguente fatto :
se hai un'equazione di ordine n lineare e omogenea, la somma di due sue soluzioni è una soluzione e un multiplo reale di una sua soluzione è una soluzione, quindi le sue soluzioni formano uno spazio vettoriale; come si può dimostrare con il teorema di esistenza e unicità delle soluzioni alle equazioni differenziali ordinarie (quando queste rispettano certe ipotesi di regolarità che un'eq. lineare rispetta ovviamente), tale spazio ha dimensione n, associando ad ogni soluzione il vettore fatto da lei e dalle sue derivate fino alla n-1 esima (eventualmente, se proprio vuoi dei numeri, le valuti in un qualche punto). Il fatto è che tutta questa teoria è abbastanza complicata, almeno per le conoscenze di un liceale (IMO, ovviamente).
Già il passaggio al complesso e ritorno non è una cosa così chiara e cristallina come sembrate credere ... poi non vorrei dover iniziare a dire cos'è un wronskiano per mostrare che le due soluzioni trovate sono indipendenti ... sono questi decisamente argomenti inutili per un liceale, soprattutto se sparati a zero così, senza spiegazioni esaurienti e senza la base teorica per cose simili.
Inoltre, la ricetta con gli esponenziali non va bene nel caso di smorzamento critico in cui una base della giacitura dello spazio di soluzioni è data da $ e^{kx},\ xe^{hx} $.
NEONEO, gli spazi vettoriali centrano per il seguente fatto :
se hai un'equazione di ordine n lineare e omogenea, la somma di due sue soluzioni è una soluzione e un multiplo reale di una sua soluzione è una soluzione, quindi le sue soluzioni formano uno spazio vettoriale; come si può dimostrare con il teorema di esistenza e unicità delle soluzioni alle equazioni differenziali ordinarie (quando queste rispettano certe ipotesi di regolarità che un'eq. lineare rispetta ovviamente), tale spazio ha dimensione n, associando ad ogni soluzione il vettore fatto da lei e dalle sue derivate fino alla n-1 esima (eventualmente, se proprio vuoi dei numeri, le valuti in un qualche punto). Il fatto è che tutta questa teoria è abbastanza complicata, almeno per le conoscenze di un liceale (IMO, ovviamente).
Caro NeoNeoNEONEO ha scritto:scusate, ma potreste spiegare gentilmente ad un ignorante come me che cosa centra lo spazio vettoriale? vi ringrazio in anticipo...
come disse qualcuno che la saggezza l'ha insegnata all'intera umanità, il vero sapere è il saper di non sapere, quindi non sei ignorante.
Mi scuso con te se ti sono sembrato troppo tecnico. E' una critica che accetto volentieri e che spesso faccio anch'io (anche se non espressamente) a molti interventi che trovo su questo e su simili forum.
Dovremmo sforzarci tutti di spiegare meglio il procedimento piuttosto che 'postare' le soluzioni, magari in forma criptica. Sul procedimento c'è più da discutere, il risultato può essere solo giusto o sbagliato.
Mi rendo conto che questo è difficile perchè ci vuole più tempo e generalmente non c'è modo di conoscere il livello di preparazione delle persone che pongono le domande.
Tuttavia, si dovrebbe sempre presupporre il livello più basso possibile compatibilmente con il quesito specifico ed è quello che, quando ci riesco, mi sforzerò di fare.
ciao e insiti!
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
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