Equazione

[giuseppe87x]

Trovare tutte le soluzioni intere di

$ a^3+2b^3=4c^3 $

[HumanTorch]

Discesa infinità?

[HarryPotter]

Nun ce stanno (a parte la banale, o triviale, o straight forward che dir si voglia, (0; 0; 0)...)

Infatti chiaramente o $ a; b; c = 0 $ o $ a; b; c \not= 0 $, in quanto non esiste alcun cubo che sia il doppio o il quadruplo di un altro.

Notiamo che $ a $ deve essere pari e quindi abbiamo $ a=2a' $ da cui l'equazione diventa:

$ 4{a'}^3 + b^3 = 2 c^3 $.

Ora noto che $ b $ deve essere pari e quindi abbiamo $ b=2b' $ da cui l'equazione diventa:

$ 2{a'}^3 + 4{b'}^3 = c^3 $.

Ora noto che $ c $ deve essere pari e quindi abbiamo $ c=2c' $ da cui l'equazione diventa:

$ {a'}^3 + 2{b'}^3 = 4{c'}^3 $.

Che è uguale a quella di partenza... e di conseguenza.... posso applicare il principio di discesa infinita.
N. B. Guardi bene questa soluzione chi non conoscesse il principio della discesa infinita, e chi non capisca chieda...

Poichè i numeri sono interi non possono ridurre all'infinito il loro valore assoluto, posso infatti reiterare il procedimento e dire che $ a'=2a''; b'=2b''; c'=2c'' $ e così via. Di conseguenza l'espressione costituisce un assurdo e non può essere verificata.

Utile esercizio (e ancora + facile di questo) per imparare a usare il principio della discesa infinita è dimostrare che $ \sqrt 2 $ è irrazionale.

Saluti e baci.

[giuseppe87x]

Ok io invece ho fatto in questa maniera, ditemi se è giusto.
Supponiamo che esista una terna di interi $ (a. b. c) $ soluzione dell'equazione tale che:
$ max(a, b, c)>0 $
dove l'elemento massimo è il più piccolo possibile.
Notiamo che $ a $ deve essere pari in quanto differenza di numeri pari. Quindi possiamo porre $ a=2a^' $. Quindi la nostra equazione diventa:
$ 8a'^3 +2b^3=4c^3 $ e cioè $ 4a'^3+b^3=2c^3 $.
Ora ci accorgiamo che anche $ b $ deve essere pari, quindi $ b=2b^' $;
$ 4a'^3+8b'^3=2c^3 $ e cioè $ 2a'^3+4b'^3=c^3 $.
Ergo possiamo porre $ c=2c^' $ quindi $ 2a'^3+4b'^3=8c'^3 $ e cioè $ a'^3+2b'^3=4c'^3 $
Ma osserviamo che in ogni caso $ max(a', b', c')<max(a, b, c) $ e ciò va contro la nostra ipotesi iniziale.
Che ne dite?

[giuseppe87x]

Va bè alla fine credo di aver utilizzato indirettamente questo teorema della discesa infinita, anche se non lo conoscevo.
Comunque mi sembra quasi un derivato del principio di induzione o sbaglio?

[mitchan88]

Va bè alla fine credo di aver utilizzato indirettamente questo teorema della discesa infinita, anche se non lo conoscevo.
Comunque mi sembra quasi un derivato del principio di induzione o sbaglio?

Derivato non mi par giusto... Direi equivalente