coseno e radici

[snagg]

Dovrebbe essere semplice.. dimostrare che :
$ \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2}}}}_{n \mbox{ radici}} = 2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}} $ per $ n\in N $

[post233]

Andiamo per induzione su n:
Passo base: $ n=0 $
Banalmente, $ 0=2cos \displaystyle \frac{\pi}{2} $
Passo induttivo: $ n--->n+1 $
Chiamiamo il ramo sinistro dell'identità, in funzione di $ n $, $ LHS(n) $, e quello destro $ RHS(n) $. Per come è definito $ LHS $, notiamo che
$ LHS(n+1)=\sqrt{2+LHS(n)} $. Occupiamoci ora di $ RHS $ e definiamo
$ \displaystyle \frac{\pi}{2^{n+1}}=k(n) $.
Abbiamo dunque $ RHS(n)=2cos(k(n)) $.
Inoltre, $ RHS(n+1)=2cos(k(n)/2) $.
Ora, per le formule di bisezione,
$ cos(k(n)/2)=\sqrt{\displaystyle \frac{cos(k(n))+1}{2}} $
$ RHS(n+1)=2cos(k(n)/2))=2\sqrt{\displaystyle \frac{2cos(k(n))+2}{4}}=\sqrt{2+RHS(n)} $
Poiché $ LHS(n+1)=\sqrt{2+LHS(n)} $ e $ RHS(n+1)=\sqrt{2+RHS(n)} $, nell'ipotesi induttiva che $ LHS(n)=RHS(n), $anche $ LHS(n+1)=RHS(n+1). $

[HumanTorch]

$ 2\cos x=2\cdot \displaystyle\left\sqrt{\frac{\cos \frac{x}{2}+1}{2}}\right= $$ \left\sqrt{2\cos \frac{x}{2}+2}, $e nota che reiterando questa formula su $ 2\frac{x}{2} $ ottieni la tesi $ \forall x\in\mathbb{R} $

[post233]

$ 2\cos x=2\cdot \displaystyle\left\sqrt{\frac{\cos \frac{x}{2}+1}{2}}\right $

Scusa, non dovrebbe essere
$ 2\cos \displaystyle \frac{x}{2}=2\cdot \displaystyle\left\sqrt{\frac{\cos x+1}{2}}\right $

[HumanTorch]

ehm, già, ma il principio dovrebbe essere lo stesso, je suppose

[snagg]

no in realtà non è lo stesso.. si ricava dalle formule di duplicazione del coseno $ \cos{2\alpha} = 2\cos^2\alpha -1 $ quindi brevemente $ \cos\alpha = 2\cos^2 {\frac{\alpha}{2} -1} $

[HumanTorch]

no, no, dico, se invece di reiterare la formula su $ \frac{x}{2} $ lo facciamo su 2x

[mattilgale]

anche meglio se si usa le formule di duplicazione con $ \cos{2\alpha}=1-2\sin^2{\alpha} $
viene fuori (ponendo $ x_n $ il termine $ LHS $ con n radici)

$ \displaystyle x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}=\sqrt{2+2\cos{\left(2\ \cdot\ \frac{\pi}{2^{n+1}\right)}}= $

$ \displaystyle\sqrt{2\left(2-2\sin^2{\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}\right)}=2\sqrt{1-\sin^2{\left(\frac{\pi}{2^{n+1}\right)}}} $